Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

aq? + 3 = 2(a + 3).  (1)

При дележе через 3 года младший брат получит x + 105, средний xq + 15. Чтобы узнать, сколько получит старший брат, вычтем эти деньги из всей суммы:

x + xq + xq? ? (x + 105) ? (xq + 15) = xq? ? 120.

Так как братья делят деньги пропорционально их возрасту, то получим еще два уравнения:

Уравнение (1) позволяет записать второе из уравнений (2) так:

2(x + 105) = xq? ? 120,

т. е.

x(q? ? 2) = 330. (3)

Если в (1) раскрыть скобки, а затем вынести за скобки a, то

a(q? ? 2) = 3.   (1?)

Сравним с уравнением (3):

x = 110a.

Первое из уравнений (2) можно переписать так:

(110a + 105)(aq + 3) = (110aq + 15)(a + 3), т. е. 5aq ? 7a = 6.

Решим его совместно с уравнением (1?):

Из первого уравнения а = ⁶/_{5q ? 7}. Подставим во второе. После преобразований получим квадратное уравнение

6q? ? 15q + 9 = 0,

откуда q₁ = ³/₂ , q₂ = 1.

Второй корень посторонний, так как тогда всем братьям одинаковое количество лет и никто из них не может через 3 года стать вдвое старше другого.

Ответ. 12, 18, 27.

19.15. Пусть а, b, с и а?, b?, с?. Другими словами, 2b = а + с и b⁴ = а?с?. Если первое уравнение возвести в квадрат

4b? = а? + 2aс + с?,

а второе записать в виде b? = |ac|, то, сравнивая левые части этих равенств, найдем

а? + 2aс + с? = 4| ac|.

Если а и с одного знака, получаем уравнение

а? ? 2aс + с? = 0,    т. е.    (а ? с)? = 0,

откуда а = с. Следовательно, а? = с? и знаменатель прогрессии а?, b?, с? равен 1. Если а и с разных знаков, получаем уравнение

а? + 6ас + с? = 0.

Разделим на а? (по условию а ? 0) и решим уравнение

(^c/_a)? + 6^c/_a + 1 = о

относительно ^c/_a:

^c/_a = ?3 ± v8.

Так как ^c?/_a? = q?, то

q? = (?3 ± v8)?.

Числа а?, b? и с?, образующие геометрическую прогрессию, положительны. Следовательно, q > 0. Таким образом, из последнего уравнения

q_2,3 = 3 + v8.

Ответ. 3 ? v8; 1; ?3 + v8.

19.16. При n = 1 формулы верны:

Предположим, что эти формулы верны для n = k, и докажем, что они верны для n = k + 1:

Так как  то предел последовательности равен a + ?(b ? a) = ^{a + 2b}/₃.

Ответ. ^{a + 2b}/₃.

19.17. Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений

(8a ? 3)x + (14a + 5) x = 2k?, (14a + 5) x ? (8a ? 3)x = 2n?,

или

(11a + 1)x = k?, (3a + 4)x = n?.

Так как по условию a > 0, то 11a + 1 ? 0 и 3a + 4 ? 0. Поэтому

x_k = ^k?/_{11a + 1}, x_n = ^n?/_{3a + 4}.

Значения x_k и x_n при k, n = 0, 1, 2, ... (по условию x ? 0) образуют две прогрессии с разностями

d₁ = ^?/_{11a + 1}, d₂ = ^?/_{3a + 4}

и первыми членами, равными нулю. Числа x_k и x_n, расположенные в порядке возрастания, составляют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда их разности кратны, т. е. либо d₂ = d₁m