Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

(x + 3)(x + 1)(x ? 5) < 0.

Ответ. x < ?3,  ?1 < x < 4,   4 < x < 5.

Пример 3. Решить неравенство

(3)

Данное неравенство не удовлетворяется в тех точках, где множители, стоящие в знаменателе, обращаются в нуль (x = 4, x = 2). Поэтому исключим эти точки из дальнейшего рассмотрения, обозначив их на рис. 10.6 светлыми кружками.

В точках же, в которых обращается в нуль числитель (x = ?3, x = ?1, x = 5), неравенство превращается в равенство, т. е. эти точки должны войти в решение неравенства (3). Отметим их на рисунке черными кружками[8]).

Множители (x + 3)? и (x ? 4)?, не меняющие знака на всей числовой оси, можно опустить, так как их влияние уже учтено. Во всех остальных точках неравенство (3) равносильно такому:

(x + 1)(x ? 5)(x ? 2) < 0.

Ответ. x ? ?1,  2 < x < 4,  4 < x ? 5.

Упражнения

Решите неравенства:

4. (5 ? 2х)(3 ? x)?(x ? 4)? < 0.

5. 

Иррациональные неравенства. Решая уравнения, мы можем получать следствия данного уравнения и закончить решение проверкой, которая отсеивает посторонние корни. При решении же неравенств обычно получаются целые интервалы решений, что сильно усложняет проверку. Поэтому неравенства преобразовывают так, чтобы не нарушалась равносильность.

Начнем с иррациональных неравенств.

Пример 4. Решить неравенство

(4)

Нередко предлагают такое «решение»:

x? ? 55х + 250 < (x ? 14) ?,

?55х + 250 < ?28х + 196,

x > 2,

которое обосновывают следующим образом: «Левая часть меньше правой, но неотрицательна, так как мы имеем дело с арифметическим корнем. Следовательно, обе части данного неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат, не нарушая равносильности неравенства».

Чтобы убедиться, что неравенство решено неверно, подставим в данное неравенство, например, x = 10.

Проанализируем ход приведенных здесь рассуждений. Они доказывают, что если неравенство (4) удовлетворяется при некоторых x, то обе части его можно возвести в квадрат, и тогда x > 2. Однако отсюда не следует обратное, что исходное неравенство удовлетворяется при всех x > 2.

Присутствие в неравенстве (4) квадратного корня накладывало на неизвестное определенные ограничения, которые оказались разрушенными после возведения неравенства (4) в квадрат.

Трехчлен x? ? 55х + 250 вначале стоял под знаком квадратного корня, а потому должен был быть неотрицательным. После возведения неравенства (4) в квадрат это ограничение исчезло; теперь ничто не мешает трехчлену стать отрицательным. Даже наоборот, в этом случае неравенство x? ? 55х + 250 < (x ? 14)? удовлетворяется наверняка, так как справа стоит величина, которая не может стать меньше нуля.

Чтобы подкоренное выражение оставалось неотрицательным, мы должны добавить к полученному после возведения в квадрат неравенству требование x? ? 55x + 250 ? 0, т. е. x ? 5, x ? 50. Из полупрямой x > 2 оказались выделенными две ее части: 2 < x ? 5, x ? 50.

Но и теперь еще не все. Достаточно подставить в исходное неравенство значение x = 4, и мы убедимся, что оно не удовлетворяется. Дело в том, что при возведении в квадрат мы устранили еще одно ограничение, которое присутствовало в неравенстве (4). В левой части первоначального неравенства стоит квадратный корень, т. е. неотрицательное число. Чтобы это неравенство удовлетворялось, правая его часть x ? 14 должна быть больше нуля. Итак, надо добавить ограничение x ? 14 > 0, которое присутствовало в исходном неравенстве и оказалось разрушенным после возведения в квадрат.

Таким образом, после возведения данного неравенства в квадрат, мы должны позаботиться о сохранении всех ограничений, которые присутствуют в данном неравенстве. Неравенство (4) нужно было заменить системой

решая которую мы нашли бы, что

т. е. x ? 50.

Упражнения

В каждом из неравенств 6—9 освободитесь от иррациональности, не нарушая равносильности:

6.

7.

8.

9.

Показательные и логарифмические неравенства. При решении показательных и логарифмических неравенств пользуются следующими свойствами:

1. Неравенство f(x)^{? (x)} > 1, где f(x) > 0, равносильно совокупности двух систем неравенств:

или системе неравенств

1а. Неравенство f(x)^{? (x)} < 1, где f(x) > 0, равносильно совокупности двух систем неравенств:

или системе неравенств

2. Неравенство log_f(x)? (x) > 0 равносильно совокупности двух систем неравенств:

или системе неравенств