2а. Неравенство logf(x)? (x) < 0 равносильно совокупности двух систем неравенств:
или системе неравенств
Решения неравенств f(x)? (x) < 1 и f(x)? (x) > 1 в предположении, что допускаются отрицательные значения f(x), разобраны в задачах 10.29, 10.30, 10.32.
Запомнить эти свойства можно следующим образом: степень больше единицы, если основание и показатель степени одинаково расположены по отношению к единице и нулю соответственно (т. е. основание правее единицы и показатель правее нуля или основание левее единицы и показатель левее нуля); логарифм больше нуля, если основание и логарифмируемое выражение одинаково расположены по отношению к единице. Если расположение элементов, о которых шла речь, неодинаково, то степень меньше единицы, а логарифм меньше нуля.
10.1. Докажите, что если а + b = 2, где а и b — действительные числа, то а4 + b4 ? 2.
10.2. Докажите, что
(1 + a1)(1 + а2)...(1 + аn) ? 2n,
если а1, а2, ..., аn, аn — положительные числа и а1а2...аn = 1.
10.3. Дано а + b = с, где а, b, с — положительные числа. Докажите, что
а? + b? > с? .
10.4. Докажите, что ?x? + x? ? ?, если 0 ? x ? 1.
10.5. Докажите неравенство
при условии, что а + b + с = 1, а подкоренные выражения неотрицательны.
10.6. Докажите неравенство
(а + b)n < 2n(аn + bn),
если а > 0, b > 0, n — натуральное число.
10.7. Докажите, что при а > b > 0 и p > q где а, b и с — положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.
10.8. Докажите, что 
при n > 1.
10.9. Докажите неравенство
a/b + b/c + c/a > 3
где а, b и с — положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.
10.10. Докажите, что
а? + b? + с? ? 4Sv3,
где а, b, с — стороны, а S — площадь некоторого треугольника.
10.11. Докажите, что
(x ? 1)(x ? 3)(x ? 4) (x ? 6) + 10 ? 1
при всех действительных значениях x.
10.12. Докажите, что если действительные числа x, у, z, не равные нулю, удовлетворяют равенствам:
x + у + z = xуz и x? = уz,
то
x? ? 3.
10.13. Докажите, что если x, у, z — действительные числа, удовлетворяющие равенствам
x + у + z = 5, уz + zx + xу = 8,
то
1 ? x ? 7/3, 1 ? y ? 7/3, 1 ? x ? 7/3. [9]
10.14. Решите неравенство
аx? + x + 1 > 0,
где а ? 0 — произвольное действительное число.
10.15. Найдите все действительные значения m, при которых квадратный трехчлен x? + mx + (m? + 6m) будет отрицателен при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству 1 < x < 2.
10.16. Найдите все действительные значения а, при которых корни многочлена x? + x + а будут действительными и оба корня будут больше а.
10.17. При каких значениях к корни многочлена
k?x? + kx ? 2
будут действительными и один корень по абсолютной величине будет больше 1, а другой по абсолютной величине будет меньше 1?
10.18. Найдите все действительные значения m, для
