Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

log_а хy = log_а |x| + log_а |y|;

log_а ^x/_y = log_а |x| ? log_а |y|;

log_а x^2k = 2k log_а |x| (k — целое, k ? 0).

Следующие формулы позволяют переходить от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием:

Если в третьей из этих формул n = 2k, то в правой части нужно писать вместо основания а основание | а|.

Формула

(3)

является неабсолютным тождеством, так как ее правая часть перестает существовать при f(x) = 1, в то время как левая часть при соответствующих значениях x может существовать и обращаться в нуль.

Таким образом, применение формулы (3) может привести к потере решений, при которых f(x) = 1.

При решении уравнений вида

?(x)^f(x) = ? (x)^g(x)       (4)

нужно воспользоваться условием равенства показателей: если ?(x) ? ?1, 0, +1, то следствием уравнения (4) является уравнение

f(x) = g (x).           (5)

Пусть x = а — корень уравнения (4). Тогда

?(а)^f(а) = ? (а)^g(а).

В силу (1) можно записать, что

|?(а)|^f(а) = |?(а)| ^g(а).

Так как |?(x)| ? 0, 1 и |?(x)| > 0, то по свойству показательной функции имеем

f(а) = g(а),

т. е. x = а — корень уравнения (5).

Случаи, когда ?(x) равно ?1, 0 или 1, нужно рассмотреть отдельно.

Решая уравнение (4), следует иметь в виду, что выражения вида ⁰/₀ и 0⁰ не имеют смысла.

11.1. Найдите log₅ 6, если lg 2 = а, lg 3 = b.

11.2. Найдите lg 122,5, если lg 5 = а, lg 7 = b.

11.3. Решите уравнение

11.4. Для каждого действительного числа а решите уравнение

9^{?|x ? 2|} ? 4 · 3^{?|x ? 2|} ? a = 0.

11.5. Для каждого действительного числа а решите уравнение

144^|x| ? 2 · 12^|x| + а = 0.

Решите уравнения:

11.6.

11.7.

11.8.

11.9.

11.10. log₃(3^x ? 1) log₃ (3^{x + 1} ? 3) = 6.

11.11.

11.12.

11.13.

11.14.

11.15. log_0,5xx? ? 14 log_16xx? + 40 log_4xvx = 0.

11.16.

11.17.

11.18.

11.19.  где а > 0, а ? 1.

11.20. Найдите неотрицательные решения системы уравнений

Решите системы уравнений:

11.21.

11.22.

11.23.

11.24.

11.25. 

11.26.

11.27.

11.28.

11.29.

11.30.

Глава 12 Тригонометрические преобразования

Основные тригонометрические формулы.

1. Зависимости между тригонометрическими функциями:

2. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов: