Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

которых неравенство

тx? ? 4x + 3m + 1 > 0

удовлетворяется при всех положительных значениях x.

Решите неравенства:

10.19. |x? ? 2x ? 3| < 3x ? 3.

10.20. |x ? 3| > |x + 2|.

10.21.

10.22.

10.23.

10.24.

10.25.

10.26.

10.27. 4^x ? 3 · 2^vx + x + 4^{vx +1}.

10.28. 4x? + 3^{vx +1} + x · 3^vx < 2x? · 3^vx + 2x + 6.

10.29[10].

Решите неравенства:

10.30. (4x? + 12x + 10)^{| x? ? 5x + 2|} ? (4x? + 12x + 10)^{x ? 2}.

10.31. x^{log_аx +1} > а?x.

10.32[11].

10.33.

10.34.

10.35.

10.36. log₂ (2^x ? 1) log_? (2^{x + 1} ? 2) > ?2.

10.37. log_{|x + 6|} 2 · log₂ (x? ? x ? 2) ? 1.

10.38.

10.39. log_kxx + log_x(kx?) > 0, где 0 < k < 1.

10.40. log_x[log₂ (4^x ? 6)] ? 1.

10.41.

10.42.

10.43. |v2 |x| ? 1| · 1ох₂ (2 ? 2x?) > 1.

10.44.

10.45. log_{x? ? 1} (3x ? 1) < log_{x? ? 1} x?.

10.46.

10.47. При каких значениях у верно следующее утверждение: «Существует хотя бы одно значение x, при котором удовлетворяется неравенство

2 log_0,5 y? ? 3 + 2x  log_0,5 y? ? x? > 0»?

10.48. При каких значениях а из неравенства

x? ? а(1 + а?) x + а⁴ < 0

следует неравенство

x? + 4x + 3 < 0?

10.49. Для каждого действительного а решите неравенство

10.50. Решите неравенство

(x? + 8x + 15)2^{2 + x} > x? + 7x + 10.

10.51. Определите, какие из чисел ?4, ?1, 1, 4 являются решениями неравенства

|0,5 ? lg 5|x ? 0,5 ? lg 5.

10.52. Решите неравенство

(v5 ? 2)^{x ? 6} ? (v5 + 2) ^vx.

10.53. Решите неравенство

Глава 11 Логарифмические и показательные уравнения и системы

Если а^р, где а и p — действительные числа, существует, то

|a| = |а|^p       (1)

По определению log_а N есть число, удовлетворяющее равенству

где а > 0 и а ? 1.

Формулы

(2)

называются формулами потенцирования. Первые две являются неабсолютными тождествами (см. введение к главе 9); при четных n и третья формула оказывается неабсолютным тождеством. Применение этих формул при решении уравнений (под применением формулы мы понимаем замену в уравнении выражения, стоящего в ее левой части, на выражение, стоящее справа) может привести только к приобретению посторонних решений.

Формулы (2), прочитанные справа налево, называются формулами логарифмирования. Чтобы формулы логарифмирования не приводили к потере решений, ими пользуются в виде