Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

пассажирским проходит не менее часа?

18.18. Завод должен получить 1100 деталей. На базе имеются комплекты по 70, 40 и 25 деталей. Стоимость пересылки одного комплекта равна соответственно 20, 10 и 7 p. Какие комплекты и в каком количестве следует заводу заказать, чтобы расходы по пересылке были наименьшими? Переупаковка комплектов на базе не допускается.

Глава 19 Последовательности и прогрессии

Рассмотрим функцию натурального аргумента а_n = f(n), где либо n = 1, 2, 3, ..., k, либо n = 1, 2, 3, ..., k, ... . Если при любых натуральных i и j, таких, что i < j, значение а_j считается последующим по отношению к а_i, то множество значений а_n этой функции образует последовательность.

Последовательность обозначают, записывая ее члены а_n один за другим в порядке возрастания номера n: а₁, a₂, а₃, ... .

Если номер n принимает значения n = 1, 2, 3, ..., k, то последовательность называется конечной. Если же n = 1, 2, 3, ... (т. е. n пробегает все натуральные числа), то последовательность называется бесконечной.

а_n = f(n) называется общим членом последовательности. Если для любых i и j, таких, что i < j, выполняется неравенство а_i < а_j, то последовательность называется возрастающей. Если при тех же условиях будет а_i > а_j, то последовательность называется убывающей. Если же при любых i и j, таких, что i < j, выполняется неравенство а_i ? а_j (а_i ? а_j), то последовательность называется неубывающей (невозрастающей).

Последовательность, в которой

а_{i + 1} = а_i + d

при всех натуральных i, называется арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии. Имеют место формулы:

2а_n = а_{n + 1} + а_{n ? 1};     а_n = а₁ + d(n ? 1);

где S_n — сумма n первых членов прогрессии.

Последовательность, в которой

a_{i + 1} = qa_i

при всех натуральных i, причем q ? 0 и a_i ? 0, называется геометрической прогрессией, а число q называется ее знаменателем.

Для геометрической прогрессии имеют место формулы:

a_n = a₁q^{n ? 1};    a?_n = a_{n ? 1}a_{n + 1}.

Вторая формула верна, если q ? 1. Бесконечная геометрическая прогрессия, у которой |q| < 1, называется бесконечно убывающей.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия не обязательно является убывающей последовательностью. Она может быть возрастающей, например, при a₁ = ?1, q = ? , а может быть колеблющейся: a₁ = 1, q = ?? .

Если для бесконечной последовательности существует конечный предел последовательности ее сумм S_n, т. е. существует , то S называется суммой всех членов этой бесконечной последовательности.

Для того чтобы бесконечная геометрическая прогрессия имела сумму всех своих членов, необходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно убывающей. В этом случае

19.1. Общий член последовательности  Является эта последовательность возрастающей или убывающей?

19.2. Докажите, что если члены a_p, a_q, a_r, a_s арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию, то последовательность p ? q, q ? r, r ? s является геометрической прогрессией.

19.3. Докажите, что если положительные числа a, b, с — соответственно m-й, n-й и p-й члены как арифметической, так и геометрической прогрессии, то

a^{b ? с}b^{с ? a}с^{a ? b} = 1.

19.4. Докажите, что если а, b, с образуют геометрическую прогрессию, то

где x > 0, x ? 1, а,