Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

b, с — различные положительные числа, отличные от единицы.

19.5. Найдите сумму

S = 7 + 77 + 777 + ... + 777...7,

где последнее слагаемое содержит n цифр.

19.6. Докажите, что  где цифра 1 повторяется 2n раз, и цифры 2 и 3 только n раз.

19.7. При каких значениях x и у последовательность а₁, а₂, а₃, где

является одновременно арифметической и геометрической прогрессией?

19.8. Пусть х₁ и х₂ — корни уравнения x? ? 3х + А = 0, а х₃ и х₄ — корни уравнения x? ? 12х + В = 0. Известно, что последовательность х₁, х₂, х₃, x₄ является возрастающей геометрической прогрессией. Найдите А и В.

19.9. Решите уравнение

х? ? 7х? + 14х + а = 0,

зная, что его корни образуют возрастающую геометрическую прогрессию.

19.10. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех членов вдвое больше суммы первых n членов. Найдите произведение первых n членов, если первый член равен v2.

19.11. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45.

19.12. Найдите трехзначное число по следующим условиям: его цифры образуют геометрическую прогрессию; если из него вычесть 594, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке; если цифры искомого числа увеличить соответственно на 1, на 2 и на 1, то получится арифметическая прогрессия.

19.13. Имеющиеся в колхозе комбайны, работая вместе, могут убрать урожай за одни сутки. Однако по плану комбайны возвращались с других полей и вступали в работу последовательно: в первый час работал лишь один комбайн, во второй — два, в третий — три и т. д. до тех пор, пока не начали работать все комбайны, после чего в течение нескольких часов перед завершением уборки урожая действовали все комбайны. Время работы по плану можно было бы сократить на 6 ч, если бы с самого начала уборки постоянно работали все комбайны, за исключением пяти. Сколько было комбайнов в колхозе?

19.14. Три брата, возрасты которых образуют геометрическую прогрессию, делят между собой некую сумму денег пропорционально своему возрасту. Если бы они это проделали через 3 года, когда самый младший окажется вдвое моложе самого старшего, то младший получил бы на 105, а средний на 15 p. больше, чем сейчас. Сколько лет каждому из братьев?

19.15. Три отличных от нуля действительных числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке, образуют геометрическую прогрессию. Найдите всевозможные знаменатели этой геометрической прогрессии.

19.16. Даны два числа а и b. Составим последовательность а, b, a_1, b₁, a₂, b₂, ..., а_n, b_n, ..., каждый член которой, начиная с третьего, равен среднему арифметическому двух предшествующих. Докажите, что

и найдите предел этой последовательности.

19.17. Найдите все положительные значения а, для которых все неотрицательные значения x, удовлетворяющие уравнению

cos [(8а ? 3)x] = cos [(14а + 5)x]

и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.

Глава 20 Суммирование

При решении задач, связанных с последовательностями, приходится доказывать утверждения такого типа: «Для любого целого n ? p (где p — целое) справедливо...»

Доказательство этих утверждений базируется на аксиоме индукции.

Пусть для некоторого утверждения А доказаны две теоремы.

Теорема 1. Утверждение А справедливо для n = p.

Теорема 2. Из условия, что утверждение А справедливо для всех p ? n ? k, следует, что оно справедливо для n = k + 1.

Тогда в качестве аксиомы (она называется аксиомой индукции) принимают, что утверждение А справедливо для всех n ? p (n, p и А — целые числа).

Метод доказательства, основанный на использовании аксиомы индукции, называется методом математической индукции.

С помощью метода математической индукции можно доказать формулы

20.1. Докажите неравенство

20.2. В арифметической прогрессии а₁, а₂, ..., а_n первый член равен разности прогрессии: а₁ = d. Считая число n данным, найдите

20.3. Найдите сумму

20.4. Найдите зависимость между натуральными n и А, если

где а ? 0, 1, ?1.

20.5. Найдите коэффициент при хⁿ в разложении

(1 + x + 2х? + ... +