Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Число всевозможных сочетаний с повторениями определяется по формуле

вывод которой состоит в доказательстве того факта, что допущение о возможности повторений элементов равносильно увеличению числа элементов, из которых образуются сочетания, на k ? 1.

Для любого натурального n справедливы разложения

Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:

21.1. Сколькими различными способами можно усадить за круглый стол n человек, если два способа считаются одинаковыми, когда каждый человек имеет тех же соседей (левый и правый соседи не различаются).

21.2. Имеется одна перестановка из пяти элементов: а₁, а₂, а₃, а₄, а₅. Найдите число всех перестановок из этих элементов, в каждой из которых на первом месте стоит элемент, отличный от а₁, а на втором — элемент, отличный от а₂.

21.3. Сколько можно образовать семизначных чисел из цифр 1, 2, 3, ..., 8 с тем, чтобы цифра 2 входила в каждое число не меньше, чем три раза?

21.4. Сколько восьмизначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если в каждом числе цифра 1 содержится три раза, а остальные цифры по одному разу?

21.5. Экскурсанты заказали на пароходе 8 четырехместных кают. Все места в каждой из кают и все каюты равноценны. Сколькими способами могут экскурсанты разместиться в каютах, если их 32 человека?

21.6. Вычислите сумму

21.7. Найдите все значения n, при которых какие-либо три последовательных коэффициента разложения бинома (x + а)ⁿ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

21.8. Найдите число неподобных между собой членов разложения

(а + b + с + d) ⁿ.

21.9. Найдите коэффициент при х^k в разложении

(1 + x + x? + ... + х^{n ? 1})?.

21.10. Для бинома (¹/₅x + ²/₅)ⁿ найдите натуральный показатель n, если известно, что десятый член разложения этого бинома имеет наибольший коэффициент.

21.11. Определите число отличных от нуля коэффициентов в разложении

(1 + x? + х⁵)²⁰ = а₀ + а₁х + а₂х? + ... + а₁₀₀х¹⁰⁰.

21.12. Дана последовательность а₁, а₂, а₃, ..., а₁₀. Сколькими способами, сохраняя фиксированный порядок элементов последовательности, ее можно разбить на группы, каждая из которых состоит из одного элемента или двух рядом стоящих элементов?

21.13. На плоскости проведены m параллельных прямых и n прямых, пересекающих эти прямые и друг друга. Никакие три прямые не проходят через одну точку. На сколько областей (частей) эти прямые разбивают плоскость?

Глава 22 Обратные тригонометрические функции

Определения обратных тригонометрических функций приводят к следующим соотношениям.

Если arcsin x = ? (?1 ? x ? 1), то sin ? = x и ?^?/₂ ? ? ? ^?/₂ .

Если x ? 0, то 0 ? ? ? ^?/₂ ; если x ? 0, то ?^?/₂  ? ? ? 0.

Если arccos x = ? (?1 ? x ? 1), то cos ? = x и 0 ? ? ? ?.

Если x ? 0, то 0 ? ? ? ^?/₂; если x ? 0, то ^?/₂ ? ? ? ?.

Если arctg x = ?, то tg ? = x и ?^?/₂ < ? < ^?/₂.

Если x ? 0, то 0 ? ? < ^?/₂ ; если x ? 0, то ?^?/₂ < ? ? 0.

Если arctg x = ?, то ctg ? = x и 0 < ? < ?.

Если x ? 0, то 0 < ? ? ^?/₂; если x ? 0, то ^?/₂ ? ? < ?.

Имеют место следующие соотношения[14]:

arcsin x + arccos x = ^?/₂; arctg x + arcctg x = ^?/₂;

arcsin (?x) = ?arcsin x; arctg (?x) = ?arctg x; arccos (?x) = ? ? arccos x; arcctg (?x) = ? ? arcctg x.

22.1. Докажите, что

2 arctg ? + arctg ⁷/₂₃ = ^?/₄.

22.2. Представьте выражение

arctg ⁷/₉ + arcctg 8 + arcsin ^v2/₄

в виде значения функции arcsin x.

22.3. Представьте выражение

arctg (?2) + arcsin ? + arctg (??)

в виде значения лишь одной обратной тригонометрической функции.

22.4. Вычислите сумму

22.5. Найдите

arccos (sin ?(x? + x ? З)),