Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

если

22.6. Докажите, что если 0 ? x ? 1, то

22.7. Докажите, что выражение arcsin  не зависит от x, если x < ?1, и упростите его в этом случае.

Решите уравнения:

22.8. tg (З arcsin x) = 1.

22.9. arcsin ^3x/₅ + arcsin ^4x/₅ = arcsin x.

22.10. arcsin 2x + arcsin x = ^?/₃.

22.11. arctg (2 + cos x) ? arctg (2 cos? ^x/₂) = ^?/₄.

22.12.

22.13. arctg (x ? 1) + arctg x + arctg (x + 1) = arctg Зx.

Глава 23 Область определения. Периодичность

Областью определения функции может быть вся числовая ось (у = x?, у = sin x), луч с принадлежащей ему граничной точкой (у = vx , граничная точка x = 0 принадлежит области определения x ? 0) и с не принадлежащей ему граничной точкой (у = lg x), совокупность интервалов (замкнутых, открытых, полуоткрытых) и отдельных точек.

Важной характеристикой функции является ее периодичность. С помощью периодических функций можно описать явления, повторяющиеся через равные промежутки времени. Функция f(x) называется периодической, если существует такое число T ? 0, что для любого значения аргумента x чи?сла x + T и x ? T также являются значениями аргумента и выполняется равенство f(x + T) = f(x).

Если T — период f(x) и x — значение аргумента, то x + nТ, где n — целое число, — также значение ее аргумента, а пТ — период функции f(x). В частности, если T — период, то и ?T — тоже период.

Наименьший положительный период называется основным периодом.

23.1. Найдите область определения функции

23.2. Найдите область определения функции

log₃ log_? (x? ? x ? 1).

23.3. При каких значениях x выражение  принимает действительные значения?

23.4. Найдите область определения функции

arccos (x? ? 3х + 1) + tg 2х.

23.5. Где расположены точки плоскости, для координат которых выражение

принимает действительные значения ?

23.6. Докажите, что функция у = cos x? не является периодической.

23.7. Докажите, что если функция

f(x) = sin x + cos аx

периодическая, то а — рациональное число.

23.8. Найдите основной период функции

у = cos ^3x/₂ ? sin ^x/₃.

Глава 24 Наибольшие и наименьшие значения

24.1. Найдите все значения x, при которых функция

sin x ? cos? x ? 1

принимает наименьшее значение.

24.2. Найдите наибольшее значение функции

у = sin 2х sin (2х ? ^?/₆).

При каких значениях x оно достигается?

24.3. Найдите наибольшее значение функции

у = sin x cos? x ? sin? x cos x.

24.4. При каких значениях x и у выражение

2х? + 2ху + у? ? 2х + 2у + 2

имеет наименьшее значение. Найдите это наименьшее значение.

24.5. Найдите наименьшее значение выражения

у = |х? ? 1| + |х? ? 4| + | x + 2| + |x + 1|.

24.6. Найдите наименьшее значение функции

у = х⁷ + ^a/_7x, где x > 0, а > 0.

24.7. В круг радиусом R вписывается данный угол ?. Какими должны быть длины хорд, образующих этот угол, чтобы их сумма была наибольшей?

24.8. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с площадью, равной 2 м?, а высота призмы равна гипотенузе основания. Какими должны быть стороны основания, чтобы боковая поверхность призмы была наименьшей?

24.9. Найдите сторону наибольшего из квадратов, внутренние точки которых