Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

AC (D — основание высоты). Однако BC и AC можно выразить через CD с помощью тригонометрических функций углов треугольника АВС. Это даст нам уравнение, связывающее углы треугольника АВС.

1.15. Если рассматривать длины сторон AC = b и BC = а, то все участвующие в задаче геометрические величины будут связаны с площадью треугольника ABC.

1.16. Чтобы геометрически связать окружность с центром О и окружность с центром О₁, нужно провести отрезки СО и ВО (рис. I.1.16). Окружность О₁ описана около треугольника СОВ. Длина хорды СВ известна. Следовательно, для того, чтобы найти радиус, достаточно определить угол СОВ.

1.17. Задачу удобно переформулировать иначе: через центр вписанной окружности проведем прямую, параллельную средней стороне треугольника, и докажем, что она пройдет через точку пересечения медиан, т. е. точка пересечения этой прямой с медианой, опущенной на меньшую сторону, делит медиану в отношении 2 : 1.

1.18. Воспользоваться методом сравнения площадей.

1.19. Точки A, О и L лежат на одной прямой — биссектрисе угла ВАС, аналогично точки В, О и K лежат на биссектрисе угла АВС. Прямая KL делит угол АСМ пополам (СМ — продолжение BC).

По условию A = 2С, а В = 4С (рисунок сделайте самостоятельно).

1.20. Так как сумма углов в треугольнике равна ?, то углы А, В и С нетрудно вычислить.

1.21. Сделать несложное дополнительное построение, чтобы получились подобные треугольники.

1.22. Поскольку отрезки, длины которых входят в правую часть равенства, лежат на одной прямой, нужно выразить длины всех отрезков на той же прямой. Тем самым мы «спрямим» записанное соотношение и сделаем его доказательство простым.

1.23. В формулу входят отношения. Поэтому целесообразно сделать дополнительные построения, в результате которых получатся подобные треугольники.

1.24. При построении, описанном в условии, возникают подобные треугольники. Нужно с их помощью заменить стоящие в левой части отношения новыми отношениями с тем, чтобы в знаменателе была одна и та же сторона треугольника, а в числителе — отрезки этой стороны. (!)

1.25. Положение прямой, проходящей через точку О, можно определить с помощью угла ?, который эта прямая составляет с некоторым фиксированным радиусом описанной окружности. Нужно доказать, что величина, о которой говорится в условии, не зависит от ?.

1.26. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно знать стороны данного треугольника и радиус описанной около него окружности. С вычисления этих величин и следует начать решение задачи.

1.27. Связать углы треугольника и его стороны можно либо с помощью теоремы синусов, либо с помощью теоремы косинусов. Данное в условии соотношение между сторонами треугольника подсказывает, что теорема косинусов удобнее.

1.28. Если отрезки ОА, ОВ и ОС, входящие в данное соотношение ОА? = ОВ · ОС, выразить через радиус r вписанной окружности и углы треугольника, то должно получиться соотношение между тригонометрическими функциями этих углов, не содержащее r. (!)

1.29. Применить формулу, выражающую площадь треугольника через две стороны и синус угла, и теорему косинусов. (!)

1.30. Чтобы доказать равенство двух отрезков, о которых идет речь в условии, можно ввести элементы, определяющие треугольник, и выразить через них эти отрезки. То же самое можно сделать геометрически: четырехугольник О₁ЕDО₃ (рис. I.1.30), построенный на отрезке О₁О₃, таков, что каждая из трех его остальных сторон равна половине соответствующей стороны треугольника. Остается построить такой же четырехугольник на отрезке ВО₂.

1.31. Площадь треугольника АFМ (рис. I.1.31) в восемь раз меньше площади треугольника АВС, так как АF = ?AB, а высота треугольника АFМ в четыре раза меньше высоты треугольника АВС (докажите). Если рассматривать AM и АD как основания треугольников АFМ и АВD, то соответствующие высоты этих треугольников относятся как 1 : 2. Выяснив, в каком отношении точка M делит отрезок АD, мы решим задачу.

1.32. Так как четырехугольник вписанный, то кроме входящих в задачу величин целесообразно рассмотреть радиус круга R и углы четырехугольника. Введя углы, мы сможем использовать свойство вписанного четырехугольника.

1.33. Использовать тот факт, что боковые стороны трапеции и отрезок, соединяющий середины ее оснований, лежат на прямых, пересекающихся в общей точке.

1.34. Если обозначить сторону квадрата через а, а расстояние от точки M до самой ближней стороны (либо до AB, либо до CD) через x, то остальные расстояния можно выразить через а и x.

1.35. Фигура, площадь которой нужно определить, на рис. I.1.35 заштрихована. Отрезок CD разбивает эту фигуру на правильный треугольник и трапецию. Длина отрезка АF известна, она равна ³/₂. Если мы сможем определить длину отрезка СЕ (обозначим ее x), то задача будет решена.

1.36. Из параллельности сторон трапеции и треугольника следует, что углы при основании треугольника и при нижнем основании трапеции равны. Если обозначить эти углы через ?, то можно выразить через ? и другие углы, связанные с треугольником и трапецией.

1.37. Треугольники АОD и BОС подобны. Это позволяет из отношения оснований трапеции получить отношение высот треугольника АОD и трапеции. (!)

1.38. Нас интересует периметр третьего многоугольника. Обозначим его через x. Введем также радиус окружности R и число сторон b первого многоугольника.

1.39. Окружность не может лежать между точками M и О (докажите). Ее центр О₁ лежит на