Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

x так, чтобы оказалось возможным разложение ее на множители.

13.4. Если преобразовать в сумму произведение синусов двух функций и произведение косинусов этих же функций, то получим сопряженные выражения. Поэтому целесообразно заменить тангенсы через синусы и косинусы соответствующих аргументов.

13.5. Если записать ¹/_{tg x} вместо ctg x, то после простых преобразований (следите за их равносильностью) придем к распадающемуся уравнению.

13.6. Прибавить к левой и правой частям уравнения tg 3x. Тогда слева можно вынести за скобки число 3, а справа tg 3x.

13.7. Нетрудно заметить, что множитель sin (x + ^?/₄) можно вынести в левой части уравнения за скобки, так как он получается при преобразовании суммы sin x + cos x в произведение.

13.8. Перенести tg 2x в правую часть и привести обе части уравнения к виду, удобному для логарифмирования.

13.9. Избавиться от иррациональностей с помощью перехода под радикалами к функциям половинного аргумента. Использовать условие, что 0 < x < 2?, и постараться раскрыть знаки абсолютной величины.

13.10. Перенести sin ? в левую часть и привести полученную сумму к виду, удобному для логарифмирования. Стоящий в правой части sin x выразить через функции половинного аргумента.

13.11. Рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть знаки абсолютной величины; задача сведется к решению двух уравнений и к выбору тех значений x, которые попадают в указанный интервал.

13.12. Вначале следует посмотреть, не стоит ли под радикалом полный квадрат какого-то выражения. Число 16 нам, скорее всего, не помешает, а вот число 17 менее удобно для последующих преобразований. Чтобы освободиться от его присутствия, удобно вынести под радикалом sec? x за скобки, а оставшееся в скобках выражение записать через sin x.

13.13. Перенести все члены уравнения в левую часть и разложить на множители с тем, чтобы появилась возможность избавиться от большинства радикалов.

13.14. Выразить sin 4x через tg 2x. Это тождество условное, поэтому нужно убедиться в равносильности полученного уравнения данному.

13.15. Перейти к функциям sin x и cos x.

13.16. Правую часть уравнения можно сократить на cos 2x, добавив условие cos 2x ? 0.

13.17. С помощью универсальной подстановки (через тангенс половинного угла) это уравнение может быть сведено к кубичному уравнению относительно у = tg ^x/₂. Равносильное ли получится уравнение?

13.18. Понизить степень.

13.19. Левую и правую части можно привести к виду, удобному для логарифмирования.

13.20. Уравнение упростится, если преобразовать произведения, стоящие в левой его части, в разность косинусов. Оно станет квадратным относительно у = cos x. (!)

13.21. Выразить sin 4x через sin x и cos x и вынести sin x за скобки после переноса в левую часть.

13.22. Раскрыть скобки и каждое из ста произведений преобразовать в сумму. (!)

13.23. Каждое произведение преобразовать в разность косинусов. (!)

13.24. Выразить cos 4x + 1 через cos 2x.

13.25. Произведение косинусов может равняться единице, если либо оба косинуса равны единице, либо оба равны минус единице.

13.26. Представить единицу в виде sin? x + cos? x.

13.27. Уравнение таково, что не остается надежд на упрощения в результате тригонометрических преобразований. Поэтому следует попытаться воспользоваться оценками. Во-первых, выражение, стоящее в левой части, всегда неотрицательно, кроме того, cos⁴ x ? 0; следовательно, и cos 3x ? 0. Во-вторых, слева стоит сумма квадратов, которую разумно дополнить до полного квадрата.

13.28. Обратить внимание на то обстоятельство, что левая часть уравнения не может стать меньше единицы, а правая не может превзойти единицу.

13.29. Второе уравнение легко свести к виду sin (2x ? у) = 0, откуда у = 2x ? ?k. При подстановке в первое уравнение получим

4 tg 3x = 3 tg 4x.

Это уравнение удобнее преобразовать к виду

4(tg 4x ? tg 3x) = tg 4x,

чем к виду

3(tg 4x ? tg 3x) = tg 3x,

так как множитель 4 удобнее при тригонометрических преобразованиях.

13.30. Второе уравнение легко решается преобразованием его левой части в разность косинусов; в результате получится соотношение 2у = ^?/₂ ? x + k?. Прежде чем им воспользоваться, следует первое уравнение привести к виду, удобному для логарифмирования.

13.31. Левые части первого и второго уравнений нетрудно выразить через u = sin x и v = sin у.

13.32. Второе уравнение существенно упростится, если его левую часть преобразовать в сумму.

13.33. Из системы можно исключить x, если воспользоваться основным тригонометрическим тождеством

sin? ? + cos? ? = 1.

13.34. Нужно вначале решить первое уравнение, решение которого находится обычным путем. Найденное значение подставить во второе уравнение.

13.35. Разделив второе уравнение на первое, получим tg у = 2 tg x.

13.36. Удобно перейти к уравнениям относительно одной тригонометрической функции. При этом нужно следить за равносильностью.

13.37. Если возвести каждое уравнение в квадрат и полученные уравнения сложить, то мы исключим ?. Однако для нас важнее исключить либо x, либо у. Как это сделать?

13.38. Левую часть первого уравнения можно преобразовать в разность sin