Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

(x ? у) ? cos (x + у). Из второго уравнения определяется cos (x + у).

13.39. Правая часть уравнения не может стать больше четырех. Если ввести обозначения tg? x = u, tg? у = v, то нетрудно заметить, что левая его часть не может стать меньше четырех.

13.40. Способ 1. Умножить sin? x на тригонометрическую единицу sin? 3x + cos? 3x и сгруппировать члены, содержащие sin? 3x.

Способ 2. Перенести все члены в левую часть и выделить полный квадрат разности 2 sin x ? sin? 3x. Оставшиеся члены образуют неотрицательное выражение.

13.41. Способ 1. Преобразовать сумму тригонометрических функций cos x + cos у в произведение, а cos (x + у) выразить через косинус половинного аргумента.

Способ 2. Раскрыть cos (x + у) по формуле косинуса суммы.

13.42. Вопрос задачи естественно поставить следующим образом: при каких а и b равенство

tg x + tg (а ? x) + tg x tg (а ? x) = b

является тождеством (неабсолютным)?

13.43. Вначале следует попытаться оценить снизу левую часть уравнения, так как верхняя оценка правой части очевидна:

12 + ? sin у ? 12,5.

13.44. Перенести sin Зx в левую часть уравнения и преобразовать sin x ? sin Зx к виду, удобному для логарифмирования.

13.45. После раскрытия скобок произвести упрощения.

13.46. Условие записано таким образом, что введение нового неизвестного

является очевидным шагом к решению уравнения. Мы придем к квадратному уравнению относительно у.

13.47. В задаче требуется решить систему двух уравнений с одним неизвестным и выбрать решения, удовлетворяющие ограничению |x| < 5. Было бы заблуждением пытаться свести эти два уравнения в одно с помощью подстановки или какого-либо другого преобразования. Можно решить каждое в отдельности и отыскать общие корни. Однако попытайтесь использовать особенности данной системы.

13.48. Так как выражений, схожих с cos ^6x/₅ , в условии больше нет, то, скорее всего, cos ^6x/₅ преобразовывать не следует. В числителе левой части tg x естественно вынести за скобки. Выражение 3 ? tg?x, оставшееся в скобках, удобнее преобразовать, заменив tg? x на  

13.49. Воспользуйтесь тем, что  и cos Зx + cos x = 2 cos 2x cos x.

13.50. Разбить 4 ctg 2x на слагаемые и в левой части образовать выражения 2(tg x + ctg 2x), tg ^x/₂ + ctg 2x, ctg 2x ? ctg Зх. Преобразовать каждое из этих выражений и затем преобразовать все уравнения к равной нулю дроби, у которой числитель и знаменатель — произведения тригонометрических функций.

13.51. Сделайте преобразование, имея в виду, что sin t ? 0, cos t ? 0, и воспользуйтесь соотношениями:

K главе 14

14.1. Если обе части неравенства возвести в квадрат, то получим равносильное неравенство. (!)

14.2. Использовать тот же прием, что и при решении уравнения cos x ? sin x = ?1, т. е. ввести вспомогательный угол. (!)

14.3. Способ 1. Можно перейти к неравенству относительно tg x. При этом придется рассмотреть различные случаи, в зависимости от знака cos x. (!)

Способ 2. Если синус и косинус выразить через tg ^x/₂, то получим квадратное неравенство. Равносильно ли оно данному? (!)

14.4. Если cos 2x и sin 2x выразить через tg x и обозначить tg x = y, то получится простое алгебраическое неравенство. Равносильно ли оно данному?

14.5. Способ 1. Можно перейти к совокупности двух систем: cos x и tg 2x должны быть нестрого (т. е. включая нуль) разных знаков.

Способ 2. Воспользоваться формулой тангенса двойного угла. Равносильное ли получится неравенство?

14.6. Неравенство можно привести к алгебраическому, если выразить все тригонометрические функции через cos x. (!)

14.7. Если записать sin 2x = 2 sin x cos x и перенести все члены неравенства в одну часть, то получим однородное выражение относительно sin x и cos x. Разделив на cos? x, получим алгебраическое неравенство относительно y = tg x. Равносильно ли оно данному? (!)

14.8. Вычислить дискриминант и выяснить, когда он положителен.

14.9. Неравенство может выполняться только при sin x ? 0 и cos x ? 0. Приняв во внимание эти ограничения, его можно возвести в квадрат. (!)

14.10. Записать решение неравенства в предположении, что  — новое неизвестное.

14.11. Привести к неравенству относительно одной тригонометрической функции.

14.12. Перенести ?1 в левую часть, записать тангенсы через синусы и косинусы и