Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

DD₁ = ^R/₂.

Отсюда O₁D = ^2R/₃ ? ^R/₂ = ^R/₆ . Так как АD = ? AC = ^{R v3}/₂, то

Ответ. R ^v7/₃

1.2. B треугольнике AOB (рис. P.1.2) известны: ? BAO = ^?/₂ , ? AOB = ^?/₂ + ^?/₂, BO = m· По теореме синусов находим AB = m ctg ^?/₂· Теперь можно найти AC и R = ВО₁:

AC = 2AD = 2АВ sin (^?/₂ ? ?) = 2АВ cos ? = 2m ctg ^?/₂ cos ?,

Ответ.

1.3. Условие задачи может быть геометрически осуществлено в двух случаях (рис. Р.1.3, а), т. е. когда треугольник либо правильный, либо равнобедренный тупоугольный (докажите). Решить эту задачу можно сразу для обоих случаев. На рис. Р.1.3, б изображены треугольник ABC и треугольник А₁В₁С< sub>1, составленные из средних линий первого треугольника. Треугольник А₁В₁С< sub>1 подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия половина. Следовательно, радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, относятся как один к двум.

1.4. Если сторона а треугольника ABC биссектрисой АА₁ разделена на отрезки а₁ и а₂, то можно записать следующие соотношения (рис Р. 1.4.):

Решая эту систему уравнений относительно a₁ и а₂, получим

Вычислим аналогично отрезки, на которые разделены стороны b и с треугольника ABC:

Так как отношение площадей треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, между которыми лежит этот общий угол, то

Аналогично находим

Теперь найдем отношение

Ответ.

1.5. Выразим площадь треугольника ABC через радиус r вписанной окружности и углы А, B и С треугольника. Вначале запишем

S_ABC = S_AOB + S_BOC + S_COA

(рис. P.1.5).

Так как

S_AOB = ?АО · ВО sin OB,

где

и, следовательно, sin ?AOB = sin ^{A + B}/₂ = cos ^C/₂ , то

Аналогично находим S_BOC и S_COA и вычисляем искомую площадь:

Выразим теперь через r, А, B и С площадь треугольника А₁В₁С< sub>1. Разобьем и его на три треугольника:

Чтобы найти угол А₁ОВ₁, рассмотрим четырехугольник А₁ОВ₁С . B этом четырехугольнике два угла прямых, а потому два других — угол А₁ОВ₁ и угол С — образуют в сумме развернутый угол, т. е. угол А₁ОВ₁ равен ? ? С. Аналогично находим углы В₁ОС₁ и С₁ОА₁.

Итак,

Остается найти отношение

Ответ. 2 sin ^A/₂ sin ^B/_{2 sin ^C/2 .}

1.6. Так как B = 3С, то из