Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

С одной стороны, АО = ^y/_{sin ?}, а с другой стороны

Таким образом,

После простых преобразований получим

(y? ? z?) cosec? ? = c? ? 2cz ctg ?,

(x? ? y?) cosec? ? = b? ? 2by ctg ?,

(z? ? x?) cosec? ? = a? ? 2ax ctg ?,

где последние два уравнения выведены аналогично первому из рассмотренных отрезков CO и BO. Сложив все три уравнения, получим в левой части нуль, а в правой выражение, в которое входит S:

0 = (a? + b? + c?) ? 2 (ax + by + cz) ctg ?.

Таким образом,

Способ 2. Так как площадь треугольника ABC равна сумме площадей трех треугольников, на которые треугольник ABC разбивается точкой O (рис. P.1.1З, б), то

S = ? sin ? (an +  bl + cm).

Записав теорему косинусов для каждого из треугольников AOB, BOC, COA, получим

2an cos ? = a? + n? ? m?,

2bl cos ? = b? + l? ? n?,

2cm cos ? = c? + m? ? l?.

Сложим три последних равенства:

2 cos ? (an + bl + cm) = a? + b? + c?.

Используя полученное ранее выражение для S, исключим an + bl + cm.

Ответ.

1.14. По условию CD = BC ? AC (рис. P.1.14).

Так как

AC = ^CD/_{sin A}, BC = ^CD/_{sin B},

то

CD (¹/_sin B ? ¹/_{sin A}) = CD

или

sin А ? sin B = sin A sin B.

Последнее уравнение можно переписать так:

4 sin ^{A ? B}/₂ cos ^{A + B}/₂ = cos (А ? B) ? cos (А + B).

Так как А ? B = ?, то после замены

cos (А + B) = 2 cos? ^{A + B}/₂ ? 1

приходим к уравнению относительно y = cos ^{A + B}/₂:

y? + 2 sin ^?/₂ y ? cos? ^?/₂ = 0.

Из его корней

y_{1, 2} = ±1 ? sin ^?/₂

годится только первый, т. е.

cos ^{A + B}/₂ = 1 ? sin ^?/₂.

Задача имеет решение при 0 < ? < ?.

Остается решить систему

Ответ. А = arccos [1 ? sin ^?/₂] + ^?/₂,

B = arccos [1 ? sin ^?/₂] ? ^?/₂

С = ? ? А ? B.

1.15. Площадь S треугольника ABC (рис. P.1.15) может быть записана с помощью биссектрисы l следующим образом:

S = ?(а + b) l sin ^С/₂.

Теперь приравняем три выражения для 2S:

аh_а = bh_b = (а + b)l sin ^С/₂.

Исключая а, получим

откуда

Задача имеет решение, если

B правой части стоит величина, равная половине среднего гармонического длин h_а и h_b.

Ответ.  если длина биссектрисы больше среднего гармонического длин h_а и h_b.

1.16. Так как ОС и OB (рис. P.1.16) — биссектрисы соответствующих углов треугольника ABC, то