Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

?COB = ? ? (?OCB + ?OBC) = ? ? ^{B + C}/₂.

Но B + С = ? ? А = ? ? ?. Следовательно, ?COB = ^?/₂ + ^?/₂.

Применяя теорему синусов, получим

Ответ.

1.17. Проведем через центр О₁ (рис. P.1.17) вписанной в треугольник ABC окружности прямую, параллельную AC и пересекающую медиану AE в точке О. Докажем, что О — точка пересечения медиан треугольника ABC.

С помощью сравнения площадей получим (а + d) BD = rP, где

P = а + (а + d) + (а + 2d) = 3 (а + d),

откуда BD = 3r.

Так как AE — медиана, то из подобия треугольников BDC и EFC следует, что

EF = ? D = ³/₂ r.

Из подобия треугольников AOC и AEF получаем АО : AE = OG : EF = 2 : 3.

Следовательно, АО : ОЕ = 2 : 1 и О — точка пересечения медиан.

1.18. Площадь треугольника ABC (рис. P.1.18), с одной стороны, равна ? h_аа = 2kr?, а с другой стороны, равна pr. Следовательно, p = 2kr.

Так как АВ₁ = АС₁ (касательные к одной окружности) и аналогично BC₁ = ВА₁, СВ₁ = СА₁, то СВ₁ + BC₁ = СА₁ + ВА₁ = а, АВ₁ + СВ₁ + BC₁ = p и АВ₁ = p ? а = 2kr ? kr = kr. Теперь можно вычислить

tg ^А/₂ = ^r/_kr = ¹/_k.

Чтобы найти стороны b и с, определим величины b + с и bc. Величина b + с определяется просто:

b + с = 2p ? а = 3kr.

Чтобы найти bc, вспомним, что площадь треугольника ABC, равная 2kr?, может быть записана в виде ? bc sin А, где sin А = ^2k/_{1 + k?} (по формуле универсальной подстановки). Таким образом, bc = 2r?(1 + k?).

Решая систему уравнений

найдем 

или наоборот

Задача имеет решение при k > 2v2.

Ответ.

1.19. Так как углы С, А, B треугольника ABC образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2, то А = 2С, B = 4С (рис. P. 1.19). Точка О — центр вписанной окружности, т. е. OK и OL являются отрезками соответствующих биссектрис.

Вычислим углы треугольника OLK. Угол KOL равен углу BOA треугольника BOA, в котором два угла уже известны: угол при вершине А равен С, а угол при вершине B равен 2С. Следовательно, угол BOA = ? ? 3С. Но по условию ? = А + B + С = 7С, т. е. угол BOA, а следовательно, и угол LOK равны 4С.

Рассмотрим далее треугольник EKC. Угол при вершине E в этом треугольнике (равный углу AEO из треугольника AEO) вместе с углом OAE, равным С, образуют угол LOK, равный 4С. Таким образом, угол KEC равен 3С. Угол ECK равен половине угла ECM, который вместе с углом С образуют ?, т. е. 7С. Следовательно, угол ECK равен 3С. Найденные два угла, каждый из которых равен 3С, позволяют найти третий: угол OKL равен С.

Таким образом, подобие треугольников ABC и ОLK доказано.

1.20. Сумма всех углов треугольника равна 7А. Поэтому