Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

^v3/_c, ^с/_b = ?.

Таким образом, треугольник ABC подобен прямоугольному треугольнику с углами в ^?/₆ и ^?/₃·

Ответ. Углы А, B и С равны ^?/₃, ^?/₂, ^?/₆ соответственно.

1.10. Из треугольника MPA (рис. Р.1.10) находим MP = PA ctg ?. Но PA = OA ? OP = ^q/_{cos ?} ? p. Таким образом,

Находим MQ:

Полезно заметить, что MQ можно было не вычислять, поскольку выражение для MQ должно получиться из выражения для MP с помощью замены p на q, а q на p.

Ответ.

1.11. Пусть AP = 3, CR = 2v2 (рис. Р.1.11) Используя метод «сравнения площадей» для треугольника ABC, получим

3a = 2v2 c.

Так как а = ^BQ/_{sin C}, с = ^BQ/_{sin A}, то после сокращения на BQ получим

³/_{sin С} = ^2v2/_{sin А^.}      (1)

По условию BQ = 6OQ. Найдем отрезок AQ из треугольников ABQ и AOQ соответственно:

AQ = BQ ctg А = 6OQ ctg А, AQ = OQ ctg ?OAQ,

где ?OAQ = ^?/₂ ? С. Приравнивая эти два выражения, получим второе уравнение, связывающее углы треугольника:

6 ctg А ctg С = 1.      (2)

Остается решить систему из уравнений (1) и (2). Для этого возведем уравнение (1) в квадрат и воспользуемся формулой  Получим

9(1 + ctg? С) = 8(1 + ctg? А).      (1?)

Из уравнения (2) следует, что

(2?)

подставляя значение ctg? С в уравнение (1'), после несложных преобразований придем к биквадратному уравнению относительно ctg А:

32 ctg⁴ А ? 4 ctg? А ? 1 = 0.      (3)

Так как треугольник ABC по условию остроугольный, то нас интересуют лишь положительные корни уравнения (3). Легко убедиться, что оно имеет единственный положительный корень ctg А = ?. Подставляя в (2), найдем ctg С = ?. Теперь можно найти площадь данного треугольника:

S_ABC = ?AP · a,

где АР = 3. Величину а найдем из треугольника BRC:

Ответ. 6 см?.

1.12. Поскольку B ? С = ^?/₂, угол B — тупой (рис. P.1.12).

Так как

то соотношение b + с = k можно переписать так: 

откуда

h(sin С + cos С) = k sin С cos С.

Возведем последнее уравнение относительно sin 2 С. Корни этого уравнения

Если мы возьмем перед корнем знак минус, то получим sin 2С < 0, чего быть не может, так как угол С острый, следовательно, 0 < 2С < ?.

Остается

B правой части стоит положительное число. Чтобы можно было найти С, это число не должно превышать единицу, т. е.

Неравенство можно переписать так:

При возведении в квадрат необходимо добавить ограничение k? ? 2h? ? 0. Получим систему

решением которой будет k ? 2v2 h, так как k и h по условию положительны.

Ответ.

1.13. Способ 1. После того как из точки О опущены перпендикуляры длины x, y и z на стороны а, b и с соответственно (рис. P.1.13, а), можно записать

2S = ax + by + cz.