Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

соотношения между площадями мы получим

т. е. ^АС/_AB = 2, откуда, в силу теоремы синусов, ^{sin B}/_{sin C} = 2. Вспоминая, что по условию B = 3С, придем к тригонометрическому уравнению sin 3С = 2 sin С. Домножим обе части уравнения на cos С, получим sin 3С cos 3С = sin 2С. Преобразовав левую часть в сумму синусов, придем к уравнению

sin 4С + sin 2С = 2 sin 2С, или sin 4С = sin 2С.

Так как C — угол треугольника, меньший 1 (ведь 3C и C — углы одного треугольника), то последнее уравнение может выполняться только в том случае, если

4C = ? ? 2C, т. е. C = ^?/₆ .

Находим остальные углы:

B = 3С = ^?/₂, A = ^?/₃.

Ответ. ^?/₃, ^?/₆, ^?/₂.

1.7. С одной стороны, площадь треугольника CAD (рис. Р.1.7) можно выразить через стороны b, l и угол между ними, а с другой стороны, — как сумму площадей треугольников АВС и ABD:

Приравнивая эти два выражения, найдем l(b ? c) cos ^A/₂ = bc sin A,

или

l(b ? c) cos ^A/₂ = 2bc sin ^A/₂ cos ^A/₂.

Так как cos ^A/₂ в треугольнике не может быть равен нулю, то на него можно сократить. Теперь найдем l.

Ответ.

1.8. Воспользуемся сравнением площадей. С одной стороны, S = pr = ^{a + b + c}/₂r, где через а обозначена искомая сторона. Находим отсюда, что 2S = ar + (b + c)r. С другой стороны, если биссектрису угла А обозначить через l_a, то

S = ? l_ab sin ^?/₂ +  ? l_ac sin ^?/₂ = ? l_a(b + c) sin ^?/₂

(рисунок сделайте самостоятельно). Из последнего равенства находим, что  Подставляем в выражение для 2S полученное раньше:

B последнем преобразовании мы учли условие задачи, согласно которому l_а = rq. Осталось ввести в рассмотрение радиус R описанной окружности. По условию R = prq. По теореме синусов

a = 2R sin ? = 2prq sin ?,

откуда r =^a/_{2pq sin ?}. Полученное соотношение позволяет определить a из последнего выражения для 2S. B самом деле, после подстановки получим

откуда после несложных преобразований найдем a.

Ответ.

1.9. B треугольнике ABC (рис. P.1.9) введем обозначения: ВМ = a₁, СМ = a₂, АN = b₁, СN = b₂. Так как ВО — биссектриса треугольника АВМ, то AB : ВМ = АО : ОМ = v3 : 1. Аналогично AB : АN = ВО : ОN = 1 : (v3 ? 1). Итак,

Величины a₁ и b₁ можно выразить через стороны треугольника

a₁ = ^ac/_{b + с}, b₁ = ^bc/_{а + с}.

После подстановки в предыдущие два равенства мы получим два однородных выражения относительно a, b и с:

^{b + c}/_a = v3, ^{a + c}/_b = ?(v3 + 1),

из которых легко найти отношения a : b и с : b. Достаточно переписать эти равенства в виде

1 + ^с/_b = v3^a/_b, ^a/_b + ^с/_b = ?(v3 + 1).

Получим ^a/_b =