Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

B силу теоремы синусов

Соотношение, которое нужно доказать, эквивалентно такому:

или

Преобразуем левую часть:

что и доказывает наше соотношение.

1.21. Проведем AL параллельно BC (рис. P.1.21).

Из подобия треугольников RAL и RBP следует, что

Из подобия треугольников AQL и CQP:

Подставляя значение AL в отношение, полученное раньше, придем к равенству

что и требовалось доказать.

1.22. Пусть AE — высота треугольника, опущенная на BC (рис. P.1.22). Тогда все участвующие в левой части равенства величины можно выразить через AE и длины отрезков, лежащих на BC. При этом следует стремиться связать каждый отрезок с точкой 1. Получим

AB? = BE? + AE? = (BD + DE)? + AE?.

AC? = CE? + AE? = (CD ? DE)² + AE?.

AD? = DE? + AE.

Воспользовавшись полученными соотношениями, составим сумму

AB? · DC + AC? · BD ? AD? · BC.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим

(DE? + AE?)(DC + BD ? BC) + DC · BD? + BD · DC?.

Так как DC + BD = BC, то остается

DC · BD? + BD · DC? = (BD + DC) DC · BD = BC · DC · BD,

что и требовалось доказать.

1.23. Проведем CE и AD параллельно BQ, а отрезки AP и CR продолжим до пересечения с ними (рис. P.1.23).

Рассмотрим образовавшиеся в результате подобные треугольники. Так как отрезки AD и OQ параллельны, то  Из подобия треугольников ADO и OEC следует, что. Итак, .

Воспользовавшись двумя парами подобных треугольников: EPC и OBP, ADR и RBO, мы можем записать

Следовательно,

1.24. Треугольник ABC и три треугольника, образовавшихся внутри него (рис. P.1.24), подобны.

Поэтому

Следовательно, 

1.25. Обозначим угол AOD (рис. P.1.25) через ?. Так как углы AOB и BOC равны 120°, то углы BOF и COE равны соответственно 60° ? ? и 60° + ?. Составим сумму

AD? + CE? + BF? = R? sin? ? + R? sin? (60° + ?) + R? sin? (60° ? ?).

После понижения степени получим

Тем самым доказано, что эта величина не зависит от положения прямой на плоскости.

1.26. По теореме косинусов

с? = а? + b? ? 2ab cos С = 7,

откуда с = v7. По теореме синусов

Угол AOB (рис. P.1.26) центральный, а угол ACB вписанный. У них общая дуга, следовательно, угол AOB равен 120°.

Применим теперь теорему синусов к треугольнику AOB:

Оставшиеся величины R_AOC и R_BOC можно найти по формуле R = ^abc/_4S.

Площади каждого из этих треугольников проще вычислить, если найти их высоты, опущенные из точки О:

Таким образом, площади треугольников AOC и BOC равны  соответственно, а радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, равны ⁷/_v3 и ⁷/_4v3 соответственно.

Ответ.