Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Филдсовском институте в Торонто в июне 2000 г. Тогда как геометрия с очевидностью имеет дело с пространством (говорил сэр Майкл, лауреат Филдсовской премии), алгебраисты имеют дело с временем. «Геометрия по существу статична. Я могу просто сидеть здесь и наблюдать, при этом может ничего не меняться, но это не мешает мне наблюдать. Алгебра, однако, имеет дело с временем, потому что там имеются операции, которые надлежит выполнять последовательно.» (Шенитцер А., Атья М.Ф. Математика в двадцатом столетии. American Mathematical Monthly. Vol. 108. № 7.)

160

Здесь (как и в ряде других случаев в этой книге и повсеместно в математике в целом) название — скажем, «Гипотеза Римана» или «формула Эйлера», — стандартно используемое в некотором устоявшемся контексте, смело применяется расширительно, причем иногда в контекстах, очень далеких от исходного и таких, о существовании которых ученый, давший свое имя названию, и не подозревал. Когда при этом хотят вернуться к исходной теореме, формуле, гипотезе и так далее, иногда используют эпитет «классическая». (Примеч. перев.)

161

Андре Вейль (Andre Weil), один из наиболее прославленных математиков XX века, был братом героини французского Сопротивления и мистического философа Симоны Вейль. Он учился у Адамара в Коллеж де Франс. Следует отличать его от Германа Вейля (Hermann Weyl). (Исчезновение всякой разницы в написании по-русски, очевидно, лишь усложняет задачу «отличать» — и эта проблема в самом деле присутствует в русских математических текстах. — Примеч. перев.)

162

Для получения более ясной картины читателю все же может быть полезна формула, по которой получается характеристический многочлен матрицы 2x2. Общий вид такой матрицы (^a_b ^c_d). Ее характеристический многочлен равен (a ? x)?(d ? x) ? bc. Таким образом и получается x² ? 11x + 28. Далее автор рассматривает характеристические многочлены с точностью до общего ненулевого множителя. (Примеч. перев.)

163

Возможно, лучше было бы говорить «от 1 до N нулей», поскольку нули иногда повторяются. Нули многочлена x² ? 6x + 9 — это числа 3 и 3. Данный многочлен разлагается на множители как (x ? 3)(x ? 3). Поэтому вам может прийтись больше по душе говорить, что он имеет только один нуль, а именно 3. В строгом математическом смысле это «нуль кратности 2». Имеется, между прочим, способ приписывать подобную кратность любому нулю любой функции. Насколько известно, все нетривиальные нули дзета- функции имеют кратность 1, однако это пока не доказано. Если окажется, что какой-то нетривиальный нуль дзета-функции имеет кратность 2 или выше, то это само по себе не опровергнет Гипотезу, но произведет опустошение в некоторой части вычислительной теории.

164

На самом деле, конечно, речь идет об операторах. Математическая модель для описания динамических систем строится в терминах операторов. «Ансамбль» (в данном употреблении, кстати, это слово было введено Альбертом Эйнштейном) означает набор операторов, у которых общими являются некоторые статистические свойства.

165

Точнее говоря, сферой интересов Монтгомери была так называемая «задача числовых классов», доступное изложение которой можно найти в книге Кита Делвина «Математика: Новый золотой век», Columbia University Press, 1999.

166

Хэролд Даймонд — специалист по теории чисел. В настоящее время — профессор математики в Университете Иллинойса в Урбана-Шампейн.

167

Сарвадаман Чоула (1907-1995) — превосходный специалист по теории чисел, в основном работавший в Колорадском университете.

168

Стандартное введение в теорию случайных матриц: Мадан Лал Мехта. Случайные матрицы и статистическая теория энергетических уровней. New York: Academic Press. 1991.

169

Дайсон — еще один человек из Тринити, учившийся в этом колледже в начале 1940-х гг. По его