Живой кристалл

Открытие Дюлонга и Пти оказалось первым этапом почти вековой истории выяснения природы теплоемкости кристалла. Два последующих этапа связаны с именами великих физиков XX века — Альберта Эйнштейна и Петера Дебая. Их достижения относятся к теории. Экспериментальным же изучением теплоемкости в XX веке занимались в великом множестве лабораторий.

Модель маятников, зарекомендовавшую себя при объяснении закона Дюлонга и Пти, Эйнштейн не отверг, предположение об их независимости сохранил, число маятников оставил тем же: 3N. В модель он внес, однако, принципиально важное уточнение: маятники не «классические», а «квантовые». Это значит вот что: в отличие от «классических», они могут менять свою энергию лишь определенными порциями, «квантами». Классическая закономерность «чем — тем», передающая непрерывность связи между величинами, в данном случае несостоятельна.

Кстати, о закономерности «чем — тем», которую мы назвали «классической». Речь идет о том, что различные величины, характеризующие свойства вещества и зависящие одна от другой, в классической, в смысле «не квантовой», физике связаны так, что любое сколь угодно малое изменение одной из величин влечет за собой малое изменение другой величины. Нет скачков, нет ступенек, а есть непрерывное изменение: «чем — тем».

Энергия квантового маятника (в нашем случае это атом, колеблющийся в узле кристаллической решетки) квантуется на порции, величина которых равна ?W = h?, где h = 6,62• 10^-27 эрг•с — так называемая постоянная Планка, а ? — частота, с которой маятник колеблется. Так как атомный маятник колеблется с огромной частотой ? ? 10¹³ с^{- 1}, то ?W ? 6•10^-14 эрг. Величина ?W оказывается очень малой, она, однако, при комнатной температуре (Т = 300 К) близка к kТ — полной энергии колеблющегося атома (kТ ? 4• 10^-14 эрг), и поэтому квантовость поглощения энергии атомом не может не сказаться и на его «личных» характеристиках, и на характеристиках твердого тела, состоящего из совокупности атомов — квантовых маятников.

Последовательность значений энергии, которую может иметь атом, колеблющийся в узле кристаллической решетки, согласно Эйнштейну, образует «энергетическую лесенку». Ее ступеньки отстоят друг от друга на расстоянии ?W. Энергия обычного маятника (грузик на нитке!), разумеется, тоже обязана квантоваться. Однако, так как частота колебаний грузика на пружине исчезающе мала по сравнению с частотой квантового маятника, величина ?W в первом случае оказывается очень малой. Вот конкретный пример: маятник с длиной нити l = 100 см и массой груза т = 10 г колеблется с амплитудой А ? 10 см. Его энергия оказывается W ? 5•10⁴ эрг, а частота ? ? 5 • 10^-1 с^-1. Такой частоте соответствует энергия поглощаемого и испускаемого кванта

h? = 3•10^-27 эрг. По сравнению с полной энергией маятника эта величина практически равна нулю, и, следовательно, можно считать, что классическая закономерность «чем — тем» между энергией и частотой практически не искажается.

Сказка о классическом и квантовом маятниках рассказывалась легко и быстро. Думаю только, что многие читатели не удовлетворились ею. У них обязательно должны возникнуть приблизительно следующие вопросы: почему вообще надо заводить разговор о квантовых маятниках, которые так необычно (быть может, лучше «непривычно») себя ведут, поглощая энергию порциями? Почему такие маятники должны существовать? Я понимаю потребность добросовестного читателя задать эти вопросы. К сожалению, однако, ответы на них не последуют, так как они — вопросы эти — из числа тех, которые не следует задавать! Так устроена природа, таковы ее законы, которым она — мудрая! — неукоснительно подчиняется. Здесь я огражу себя от возможных нареканий и перед словами «не следует» поставлю слово «пока»: пока не следует. Сегодня наука развивается, предполагая, что квантовость поглощения и излучения энергии — первооснова природы вещей.

В то время, когда Эйнштейн привнес в науку мысль о том, что твердое тело может поглощать энергию лишь определенными порциями, квантовая физика только рождалась, ее идеи были еще «вещью в себе», в них не очень верил даже М. Планк, предложивший идею квантования энергии. Шаг Эйнштейна был шагом революционным.

Физический смысл идеи Эйнштейна заключается вот в чем. При низкой температуре тепловая энергия, которая, как известно, пропорциональна температуре, может оказаться меньше той минимальной «квантовой» порции энергии, которую атому, колеблющемуся с частотой V, разрешено поглощать. Складывается ситуация, противоречащая здравому смыслу, воспитанному на классических закономерностях: мы добросовестно греем кристалл в обычной «классической» печи, а он, следуя квантовым законам, не должен поглощать тепло. Если бы все атомы имели абсолютно одинаковые судьбы, кристалл обнаружил бы нулевую теплоемкость до температуры T*, при которой kT* = ?W. Это совсем не малая температура. Так как ?W ? 6^. 10^-14 эрг, а

k = 1,38^. 10^-16 эрг/К, то оказывается, что Т* ? 400 К.

В действительности, однако, когда средняя тепловая энергия kT меньше квантовой порции энергии h?, некоторое малое количество атомов, вследствие случайного стечения обстоятельств, может иметь энергию, равную энергии одного кванта. С повышением температуры число таких атомов будет возрастать. Могут даже появиться атомы, энергия которых равна энергии двух и большего числа квантов. А это означает, что они (а с ними и кристалл) будут поглощать энергию и кристалл обнаружит ненулевую теплоемкость.

Здесь можно было бы привести расчет теплоемкости кристалла, основанный на описанной идее Эйнштейна. Не станем этого делать, обратим лишь внимание на физическое содержание результата расчета, естественно следующее из этой идеи. При низкой температуре (Т << Т*) с ее понижением теплоемкость падает по причине, нам уже известной: между величиной и нулевым значением энергии нет ступеней энергетической лестницы, а число атомов, имеющих энергию h?, убывает. А в области высоких температур (Т >> Т*) кристалл уже «забывает» об энергетической лестнице, так как ее шаг мал по сравнению с kT и она воспринимается не как лестница, а как гладкая наклонная плоскость. В силу вступает классическая закономерность «чем — тем», а с ней и закон Дюлонга и Пти.

Заслугу Эйнштейна переоценить трудно: он не только устранил кричащее противоречие между классическим представлением о теплоемкости твердых тел и результатами ее экспериментального исследования, не только внес очень существенную коррективу в классические представления о непременных признаках жизни кристалла. Он совершил нечто несравненно более значимое: привнес квантовые представления в теорию твердых тел.

Все сказанное Эйнштейном о теплоемкости твердых тел оказалось правдой, однако не вся правда была им сказана. Полученные Эйнштейном формулы, как выяснилось, качественно правильно отражали экспериментально найденные зависимости теплоемкости от температуры. А количественное совпадение теории с результатом эксперимента не достигалось. Его добился Петер Дебай через несколько лет после опубликования работы Эйнштейна.