Поскольку Джек упустил одно слагаемое и получил палиндром, результатом должно быть число 111. Вы можете возразить, почему именно этот палиндром, а не 101, например? Чтобы получить 101, упустив одно число, вы должны забыть 19, а это число лежит за пределами нашего интервала 1–15. Таким образом, Джек забыл число 9.
Задача 3.4
Мама испекла печенье на полдник для Берты. В первый день Берта съела половину всего испеченного печенья. На второй день она съела половину от того, что осталось. На третий день — одну четверть остатка, а на четвертый — одну треть. На пятый день она довольствовалась половиной того, что осталось, а на шестой день доела одно последнее печенье. Какое количество печенья испекла мама Берты?
Обычный подход
Первая реакция — написать ряд выражений, представляющих количество печенья, съеденного каждый день. Допустим, x — это начальное количество печенья.
Мама Берты испекла 16 печений.
Образцовое решение
Более эффективным является использование нашего подхода от обратного. Начнем с конца задачи и пойдем в обратном порядке:
В день 6 Берта съела одно последнее печенье, значит было 1 печенье;
В день 5 она съела 1/2, значит было 2 печенья;
В день 4 она съела 1/3, значит было 3 печенья;
В день 3 она съела 1/4, значит было 4 печенья;
В день 2 она съела 1/2, значит было 8 печений;
В день 1 она съела 1/2, значит было 16 печений.
Таким образом, вначале у Берты было 16 печений. Обратите внимание на то, что при вычислениях от обратного необходимо изменять используемые операции на «обратные». Вместо деления пополам мы должны удваивать, вместо сложения — вычитать и т. д. Это довольно легкий процесс.
Задача 3.5
Задача, которая ставит в тупик многих любителей математики, выглядит так: Марии 24 года. Она в два раза старше, чем была Анна, когда ей было столько же, сколько Анне сейчас. Сколько лет Анне?
Обычный подход
Для решения этой задачи недостаточно просто составить уравнение, которое даст ответ. Требуется нечто большее. Можно начать с создания таблицы, показанной на рис. 3.4.
Мы имеем 24 = 2a, следовательно a = 12. Кроме того, 24 − x = a + x = 12 + x, следовательно x = 6. Анне было 12, когда Марии было столько же (18), сколько Анне сейчас (18).
Образцовое решение
Подход от обратного может оказаться полезным для решения этой задачи. А раз так, то начнем со следующих рассуждений.
В представленной ситуации есть два временных периода:
1. Нынешнее время, когда Марии 24 года.
2. Прошлое время n лет назад.
Введем следующие обозначения:
M — возраст Марии (24), A — возраст Анны, n — разница между двумя временными периодами.
В первом временном периоде — Мария в два раза старше, чем была Анна:
2 (A − n) = M. (3.1)
Во втором временном периоде — когда Марии было столько же, сколько Анне сейчас:
M − n = A. (3.2)
Подставим уравнение 3.2 в уравнение 3.1:
Значение n = 6 при подстановке в уравнение 3.2 дает:
M − 6 = A → A = 24 − 6 = 18.
Таким образом, возраст Анны составляет 18 лет.
Задача 3.6
От какой точки в выпуклом четырехугольнике сумма расстояний до каждой из вершин будет минимальной?
Обычный подход
Большинство без особых раздумий пытаются методом проб и ошибок найти точку, для которой сумма расстояний до вершин будет наименьшей. Вполне возможно, что кто-то выберет точку на пересечении диагоналей. Это правильный ответ, однако такой подход оставляет вопросы.
Образцовое решение
Наша стратегия поиска ответа от обратного оказывается более рациональной в данном случае. Возьмем четырехугольник ABCD с диагоналями, пересекающимися в точке E, и с точкой P, которая, на наш взгляд, может быть искомой, имеющей минимальную сумму расстояний до вершин. Соединим точку P пунктирными линиями с вершинами, как показано на рис. 3.5.
Рассмотрение треугольника APC показывает, что AP + PC > AC, поскольку сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Аналогичным образом, BP + PD > BD. В результате суммирования мы получаем, что AP + PC + BP + PD > AC + BD. Таким образом, отталкиваясь от предположения, что P может быть искомой точкой, мы находим, что выбор любой другой точки даст такой же результат. Единственной точкой, удовлетворяющей условиям задачи, является точка E на пересечении диагоналей.
Задача 3.7
Допустим, квадратные корни из уравнения x2 + 3x — 3 = 0 равны r и s. Чему равна сумма r2 + s2?
Обычный подход
Обычный подход заключается в решении уравнения для значений r и s. Используя формулу для определения корней квадратного уравнения вида ax2 + bx + c = 0, мы получаем:
Теперь нам нужно найти квадраты этих корней и их сумму:
Образцовое решение
Чтобы получить более изящное решение, нужно вспомнить зависимость из элементарной алгебры, в соответствии с которой сумма корней квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 составляет а произведение корней Из приведенного в условиях задачи уравнения мы находим, что сумма корней r + s = –3, а произведение rs = –3. При подходе от обратного, т. е. при определении суммы квадратов корней вместо прямых вычислений, как мы делали выше, для определения корней нам нужно искать эту сумму, поскольку (r + s)2 = r2 + s2 + 2rs. Перепишем это уравнение следующим образом r2 + s2 = (r + s)2 — 2rs.
Таким образом, значение r2 + s2 = (–3)2 — 2 (–3) = 9 + 6 = 15.
Задача 3.8
Макс, Сэм и Джек играют в необычную карточную игру. В этой игре проигравший отдает другим игрокам столько денег, сколько у них есть. Макс проигрывает в первой партии и отдает Сэму и Джеку столько денег, сколько есть у каждого из них. Сэм проигрывает во второй партии и отдает Максу и Джеку столько денег, сколько есть у каждого из них. Джек проигрывает в третьей партии и отдает Максу и
