Обычный подход
Задача предполагает составление ряда уравнений, представляющих каждую партию. Обозначим начальную сумму денег у каждого игрока следующим образом: Макс — x, Сэм — y, Джек — z.
В последней партии, как мы знаем, каждое из значений равно 8. Это дает следующие три уравнения с тремя неизвестными:
В результате решения системы из трех уравнений мы получаем:
x = 13, y = 7, z = 4.
Образцовое решение
Обратите внимание, что в задаче дается конечная ситуация и спрашивается, какой была начальная ситуация. Это может указывать на эффективность подхода от обратного при решении. Также заметьте, что в соответствии с описанием ситуации в игре постоянно находится одно и то же количество денег (а именно $24). Подход от обратного дает изящное решение.
Макс начинает с $13, Сэм — с $7, а Джек — с $4. Ответ получился таким же, как и при обычном подходе, однако решение было более изящным.
Задача 3.9
Ал и Стив делят пятнистых саламандр для участия в выставке. Ал отбирает для своей экспозиции саламандр с двумя пятнами, а Стив — с семью пятнами. У Ала на пять саламандр больше, чем у Стива. Всего на их саламандрах 100 пятен. Сколько саламандр на двух экспозициях?
Обычный подход
Характер этой задачи создает сложности для использования алгебры. Обычно количество саламандр у Ала обозначают как x, а количество саламандр у Стива — как y. Это позволяет составить следующие уравнения:
x — y = 5;
2x + 7y = 100.
Для решения этих двух уравнений умножим первое из них на 2:
2x — 2y = 10;
2x + 7y = 100.
Вычитание одного уравнения из другого дает следующий результат:
9y = 90, или y = 10.
Теперь подставим значение y в первое уравнение и получим x = 15. Таким образом, у Ала и Стива вместе 15 + 10 = 25 саламандр. Это решение абсолютно правильное, но не самое изящное.
Образцовое решение
Посмотрим, можно ли упростить решение, использовав подход от обратного. Нас не спрашивают, сколько саламандр у каждого мальчика, мы должны определить сумму их саламандр. Поэтому можно начать с тех же двух уравнений. Иначе говоря, нам нужно найти x + y, а не значение каждой неизвестной. Составим те же два уравнения исходя из условий задачи.
x — y = 5;
2x + 7y = 100.
В этот раз, однако, будем искать способ определения суммы двух неизвестных.
Для этого умножим первое уравнение на 5, а второе на 2:
5x — 5y = 25;
4x + 14y = 200.
Теперь сложим эти два уравнения и получим 9x + 9y = 225 и x + y = 25. Такой метод необычен, но он демонстрирует более тонкий подход к решению задач, в которых требуется найти нечто иное, чем ожидают большинство людей.
Задача 3.10
Имея два следующих уравнения, найдите сумму x + y:
6x + 7y = 2007;
7x + 6y = 7002.
Обычный подход
Традиционный подход заключается в решении двух уравнений с двумя неизвестными.
6x + 7y = 2007;
7x + 6y = 7002.
Умножим первое уравнение на 7, а второе на 6 и получим:
42x + 49y = 14 049;
42x + 36y = 42 012.
Вычтем одно уравнение из другого:
13y = −27 963.
Таким образом, y = −2151.
Подставив это значение y в первое уравнение, мы получаем:
6x − 15 057 = 2007;
6x = 17 064;
x = 2844.
Таким образом, искомая сумма равна x + y = 2844 − 2151 = 693.
Образцовое решение
Подойдем к решению этой задачи от обратного. Два уравнения, приведенные в условиях задачи, обладают определенной симметрией. Попробуем выяснить, не поможет ли эта симметрия найти более изящное решение. Глядя на вопрос задачи, можно заметить, что нам нужно найти не индивидуальные значения x и y, как обычно, а только их сумму. Поэтому давайте посмотрим, позволяет ли упомянутая выше симметрия найти сумму сразу без предварительного определения значений x и y. Если сложить два уравнения, мы получим:
Разделив обе части уравнения на 13, мы получаем x + y = 693, а это и есть искомый ответ.
Глава 4
Принятие другой точки зрения
Среди множества стратегий решения математических задач есть такая, которая позволяет выйти из положения, когда вы «упираетесь в стену». Это подход к задаче с другой точки зрения. Ниже приведен пример такой стратегии, который является классическим в силу простоты и кардинальности изменения метода решения. В этом примере обычный подход дает правильный ответ, однако он громоздок и нередко приводит к арифметическим ошибкам. Рассмотрим следующую задачу.
В школе 25 классов, каждый из которых выставляет баскетбольную команду для участия в общешкольном турнире. По условиям турнира команда, проигравшая в одной встрече, выбывает из соревнования. В школе всего один спортивный зал, и директор хочет знать, сколько встреч придется провести в нем, чтобы определить победителя.
Типичное решение этой задачи заключается в моделировании реального турнира, в котором 12 случайно выбранных команд встречаются с другой группой из 12 команд, а одна команда освобождается от соревнований. Победители затем встречаются друг с другом, как показано ниже.
Любые 12 команд играют против других 12 команд, в результате чего определяются 12 победителей.
Во втором круге 6 победителей встречаются с 6 другими победителями, в результате чего определяются 6 победителей.
В третьем круге 3 победителя встречаются с 3 другими победителями, в результате чего определяются 3 победителя.
3 победителя + 1 команда (освобожденная от соревнований) = 4 команды.
В четвертом круге 2 оставшиеся команды встречаются с 2 оставшимися командами, в результате чего определяются 2 победителя турнира.
В пятом круге 1 команда играет против 1 команды за звание чемпиона.
Теперь подсчитаем количество проведенных игр.
Суммарное количество проведенных игр равно:
12 + 6 + 3 + 2 + 1 =24.
Такой метод решения кажется вполне разумным и определенно правильным.
Если подойти к этой задаче с другой точки зрения и определять проигравших, а не победителей, то
