Если у Вольфганга 8 евро, а у Людвига 9 евро, то части их сумм становятся одинаковыми и равными 6 евро. Поэтому ответ должен быть равен произведению одного и того же множителя на 8 и 9. Таким образом, наибольшая сумма, которую может иметь Людвиг, составляет 11 × 9, или 99 евро, а наибольшая сумма Вольфганга — 11 × 8, или 88 евро.
Ответ можно проверить, определив величину от 88 евро (66) и от 99 евро (66).
Задача 4.11
На рис. 4.3 ширина прямоугольника AEFK равна AK = 8, а длина AE разделена на четыре части AB = 1, BC = 6, CD = 4 и DE = 2. Чему равна площадь четырех закрашенных треугольников?
Обычный подход
Очевидный подход — найти площадь каждого из четырех треугольников и сложить их. Во всех четырех случаях высота треугольника равна ширине прямоугольника AK = 8. Таким образом, площади четырех треугольников составляет:
Сумма этих площадей равна 4 + 24 + 16 + 8 = 52.
Образцовое решение
Воспользуемся нашей стратегией принятия другой точки зрения на решение задачи. Треугольники имеют одну и ту же высоту, а именно 8. Сумма оснований четырех треугольников равна длине прямоугольника, т. е. 13. Таким образом, площадь четырех закрашенных треугольников равна половине площади прямоугольника, или
Задача 4.12
Определите, сколько чисел можно составить из цифр от 1 до 9 при условии, что цифры в этих числах должны располагаться в порядке возрастания.
Обычный подход
Большинство людей, скорее всего, воспользуются методом проб и ошибок и попытаются выяснить, нет ли здесь какой закономерности, и будут добавлять в список одно число за другим, т. е. сначала однозначные числа, затем двухзначные, трехзначные и т. д. Если выполнить эту работу тщательно, то можно получить правильный ответ, однако такой подход трудоемок.
Образцовое решение
Рассмотрим сначала набор целых чисел, имеющихся в нашем распоряжении {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Каждое подмножество этих цифр, за исключением пустого, должно давать одно из искомых чисел. Например, подмножество {3, 5, 7, 9} дает число 3579. Вопрос в том, сколько таких подмножеств можно выделить в нашем ряду из девяти цифр. Их количество равно 29 = 512. Вместе с тем сюда вошло пустое подмножество, которое необходимо вычесть. Таким образом, мы получаем 29 — 1 = 511 подмножеств из 9 цифр, каждое из которых дает число, где в соответствии с условием задачи, цифры могут располагаться в порядке возрастания.
Задача 4.13
На рис. 4.4 показан равнобедренный треугольник с бесконечным рядом окружностей, каждая из которых касается двух равных сторон треугольника и соседних окружностей, а нижняя окружность касается основания треугольника. Стороны равнобедренного треугольника равны 13, 13 и 10. Чему равна сумма длин этих окружностей?
Обычный подход
Занудный по определению подход предполагает вычисление длины каждой окружности с последующим определением суммы их длин. Подсчеты в этом случае очень трудоемки, но при тщательном выполнении они могут дать правильный ответ.
Образцовое решение
Воспользуемся стратегией рассмотрения задачи с другой точки зрения. С помощью теоремы Пифагора находим, что высота равнобедренного треугольника равна 12. Заметим, что сумма диаметров бесконечного числа окружностей равна высоте равнобедренного треугольника. Таким образом, сумма длин окружностей равна сумме диаметров, умноженной на π, т. е. 12π.
Задача 4.14
Чему равен наименьший неотрицательный остаток при делении 227 на 123?
Обычный подход
Как правило, при решении этой задачи люди тратят кучу времени на определение значения числа 227, а потом делят результат на 123.
Образцовое решение
Мы подойдем к решению задачи с другой точки зрения. Вместо развертывания 227 в число без степени разложим его на числа в степени:
227 = (27) (117) = (27) (112) (112) (112) (11) = (123 + 5) (123–2) (123–2) (123–2) (11).
Теперь вспомним, что произведение двух двучленов вида 123 + s и 123 + t можно представить как 123k + st:
(123 + s) (123 + t) = 1232 + 123s + 123t + st = 123 (123 + s + t) + st = 123k + st.
Таким образом, мы получаем:
123n — 440 = 123n − 492 + 52 = 123 (n − 4) + 52.
При делении числа 227 на 123 остаток равен 52.
Задача 4.15
Во время футбольного матча команды получают 2 очка за сейфти, 3 очка за гол в ворота и 7 очков за тачдаун. Если отбросить 2 очка за сейфти, то команды смогут получать лишь по 3 и по 7 очков. Каково максимальное значение счета, которое нельзя получить в этом матче?
Обычный подход
Очевидный подход — выписывать все возможные значения счета до тех пор, пока не обнаружится максимальное значение, которое невозможно получить. Такой метод, однако, не дает уверенности в том, что не существует более высокое значение.
Образцовое решение
В этом случае можно воспользоваться стратегией принятия другой точки зрения. Вместо поисков значений счета, которые нельзя получить, определим значения, которые можно получить. Счет, который можно набрать, зарабатывая очки на голах в ворота, составляет 3, 6, 9, 12, 15, … Счет, который можно заработать на очках за тачдаун, составляет 7, 14, 21, 28, … Другие значения получаются в результате прибавления очков за гол в ворота или за тачдаун к предыдущему счету. Таким образом, значения, которые нельзя получить, составляют 2, 4, 5, 8, 11. Любой счет, начиная с 12, является доступным, как видно из следующего:
Таким образом, наивысший счет, который нельзя получить, равен 11.
Интересно отметить, что эта ситуация описывается чисто математически.
Наивысший счет, который нельзя получить при использовании двух простых чисел (a и b), равен произведению этих чисел за вычетом их суммы. В нашем случае это (7 × 3) − (7 + 3) = 11.
Задача 4.16
Число 6! (читается как «шесть факториал») равно произведению 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. Найдите значение
Обычный подход
Обычно так и подмывает выписать все факториалы, взять калькулятор или компьютер и вычислить
