Второй автомобиль ехал со скоростью 85 км/ч.
Образцовое решение
В качестве альтернативы используем стратегию анализа экстремумов. Предположим, что первый автомобиль движется чрезвычайно медленно, т. е. со скоростью 0 км/ч. В этом случае второй автомобиль проедет за одну минуту и догонит первый автомобиль. Таким образом, второй автомобиль должен двигаться со скоростью 30 км/ч. Первый автомобиль движется со скоростью 0 км/ч, а второй автомобиль — на 30 км/ч быстрее, чем первый. Если первый автомобиль будет иметь скорость 55 км/ч, то второй — 85 км/ч.
Задача 5.2
Даны два параллелограмма ABCD и APQR с точкой P на стороне BC и точкой D на стороне RQ, как показано на рис. 5.1. Если площадь параллелограмма ABCD 18, то чему равна площадь параллелограмма APQR?
Обычный подход
Эта задача не такая уж простая. Первая попытка решить ее заключается в поиске признаков конгруэнтности, означающих равенство площадей. Этот метод не дает результата. Более разумно, хотя и не слишком оригинально, провести линию PD, как показано на рис. 5.2.
Теперь можно показать, что площадь треугольника APD составляет половину площади каждого из двух параллелограммов, поскольку в этот треугольник имеет общее основание с обеими параллелограммами и одинаковую высоту. Хотя это разумный подход к решению довольно сложной задачи, существует более изящный способ ее решения.
Образцовое решение
В условиях задачи просто говорится, что точка P лежит на стороне BC, но не указывается, где именно. Мы можем проанализировать экстремальную ситуацию. Можно, например, представить, что точка P совпадает с точкой B. Аналогичным образом можно представить, что точка D, лежащая на стороне RQ, совпадает с точкой R. В результате такого изменения, которое определенно соответствует исходным условиям задачи, два параллелограмма оказываются наложенными друг на друга и, следовательно, имеющими одну и ту же площадь. Таким образом, площадь параллелограмма APRQ равна 18.
Задача 5.3
Суммарное расстояние между съездами 1 и 20 на новой автомагистрали составляет 140 км. Между любыми двумя съездами должно быть не менее 7 км. Чему равно максимальное расстояние между любыми двумя соседними съездами?
Обычный подход
Обычно пытаются подобрать различные комбинации чисел в надежде найти максимум. Существует, однако, более интересный подход.
Образцовое решение
Воспользуемся стратегией анализа экстремальных ситуаций. Прежде всего отметим, что между съездами 1 и 20 всего 19 «расстояний». Поскольку минимальное расстояние между любыми двумя съездами равно 7 км, рассмотрим экстремальную ситуацию, в которой все расстояния, кроме одного, равны 7 км. Тогда минимальная сумма 18 «расстояний» составит 18 × 7 = 126 км. Таким образом, максимальное расстояние между любыми двумя съездами равно 140–126 = 14 км, иначе не хватит километров, чтобы выдержать 7-километровую дистанцию между остальными съездами.
Задача 5.4
У нас есть две однолитровые бутылки. В одной — пол-литра красного вина, в другой — пол-литра белого. Мы берем столовую ложку красного вина, выливаем его в бутылку с белым вином и взбалтываем смесь. Затем мы берем столовую ложку полученной смеси (красного и белого вина) и выливаем ее в бутылку с красным вином.
Чего больше, красного вина в бутылке с белым вином или белого вина в бутылке с красным вином?
Обычный подход
Существует несколько общепринятых подходов к решению такой задачи, в которых используют полученную из условий информацию, например о столовой ложке, которая может быть излишней. При определенном везении и сообразительности можно получить правильный ответ, однако это дело нелегкое, да и ответ нередко кажется неубедительным.
Образцовое решение
Понятно, что размер ложки не имеет реального значения, и что ложки могут быть как большими, так и маленькими. Допустим, мы используем очень большую столовую ложку, такую, которая вмещает пол-литра жидкости, — это будет экстремальная ситуация. После выливания пол-литра красного вина в бутылку с белым вином смесь будет состоять на 50 % из красного вина и на 50 % из белого. Перемешав смесь, мы берем пол-литровую ложку, наполняем ее и возвращаем смесь обратно в бутылку с красным вином. Смесь теперь одинакова в обеих бутылках. Это и есть наш ответ — красного вина в бутылке с белым вином столько же, сколько белого вина в бутылке с красным вином.
Задача 5.5
Найдите недостающие цифры в следующем семизначном числе, которое равно произведению трех последовательных чисел. Чему равны эти три числа? 1 2_ _ _ _6.
Обычный подход
Можно просто попытаться угадать, подставляя различные цифры в надежде, что среди них окажутся искомые. Это крайне маловероятно, хотя и возможно.
Образцовое решение
Вместо догадок воспользуемся стратегией анализа экстремальных ситуаций. Наименьшее возможное число равно 1 200 006, а наибольшее — 1 299 996. Поскольку нам нужен ответ, представляющий собой произведение трех последовательных чисел, проанализируем кубические корни из этих экстремумов, чтобы определить примерную величину этих трех чисел.
Кубический корень из 1 200 006 равен примерно 106, а из 1 299 996 — примерно 109. Это значительно ограничивает простор для выбора. Кроме того, в заданном числе в разряде единиц стоит 6. Значит, три искомые последовательные числа должны оканчиваться либо на 1, 2 и 3, либо на 6, 7 и 8, поскольку их произведения дают 6 в разряде единиц. Имея две такие подсказки, не сложно определить, что искомыми числами будут 106, 107 и 108. Их произведение равно 1 224 936. Задача решена.
Задача 5.6
На рис. 5.3 представлен прямоугольник ABCD со сторонами длиной 8 см и 12 см. Найдите площадь закрашенной области прямоугольника.
Обычный подход
Обычно на задачу смотрят с другой точки зрения и вместо определения площади закрашенной области, найти которую требуется по условиям, определяют площадь незакрашенной области и вычитают ее из площади прямоугольника. Незакрашенный треугольник с основанием AB = 12 см и высотой BC = 8 см, имеет площадь Площадь прямоугольника — это 12 × 8 = 96 см2. Таким образом, площадь закрашенной области равна 96–48 = 48 см2.
Образцовое решение
Другой подход с использованием той же стратегии выглядит следующим образом. Поскольку точное положение точки E не определено, рассмотрим экстремальный случай, когда точка E совпадает с точкой C, как показано на рис. 5.4.
AC — диагональ прямоугольника, которая делит его пополам. Таким образом, закрашенная область занимает точно половину площади прямоугольника, и ее площадь равна 48 см2.
Следует заметить, что тот же прием можно использовать и при
