Задача 6.2
Сумма расстояний от любой точки внутри или на сторонах равностороннего треугольника до трех сторон всегда постоянна. Чему равна сумма этих расстояний, если сторона равностороннего треугольника равна 4?
Обычный подход
Существуют несколько способов решения этой задачи. Один из наиболее простых способов — выбрать какую-нибудь точку внутри равностороннего треугольника (т. е. сделать нечто вполне ожидаемое) и провести из нее три перпендикуляра к сторонам (рис. 6.1).
Приравняв площадь ΔABC и сумму площадей треугольников APB, PBC и CPA при использовании трех высот x, y, z и основания 4, мы получим площадь:
Таким образом, h = x + y + z. В нашем случае высота равностороннего треугольника равна 2 √3. Значит x + y + z = 2 √3.
Образцовое решение
Без ущерба общему смыслу задачи рассмотрим более простой аналогичный пример, поскольку мы вправе поместить точку P в любом месте внутри равностороннего треугольника или на его сторонах. Если совместить точку P с точкой A, то решение становится очевидным. Перпендикуляры к сторонам AB и AC имеют длину 0, а перпендикуляр к стороне BC — это просто высота треугольника, или 2 √3. Обратите внимание на то, что такую стратегию можно также классифицировать, как анализ экстремальных ситуаций. Мы рассмотрели экстремальную ситуацию, в которой точка совмещена с вершиной треугольника. Это лишний раз подчеркивает гибкость выбора стратегии.
Задача 6.3
В приведенных ниже выражениях m и n — положительные целые числа, каждое из которых больше 1. Какое из выражений имеет наибольшее значение?
Обычный подход
Наиболее очевидный подход — реально выполнить операции как есть и попытаться выяснить, какое из выражений имеет наибольшее значение. Это громоздкий и нудный метод, требующий, к тому же, большого объема вычислений.
Образцовое решение
Попробуем решить более простую версию этой задачи. Для ее упрощения подставим вместо переменных подходящие положительные целые числа. Пусть m = 2, а n = 4. Тогда выражение (1) будет равно 2 + 4 = 6; выражение (2) — 2–4 = –2; выражение (3) — √16 = 4; выражение выражение Из этого следует, что наибольшее значение имеет выражение m + n.
Задача 6.4
Обычный подход
Традиционный подход заключается в решении уравнения и определении значения x, которое равно Затем это значение подставляют в выражение и получают Конечно, это связано с определенными алгебраическими и арифметическими преобразованиями, однако в конечном итоге дает правильный ответ.
Образцовое решение
Лучше, однако, взглянуть на задачу с другой точки зрения, начиная с исходной информации: уравнения Если взять обратные величины обеих сторон уравнения, мы получим уравнение вида которое намного легче поддается решению. Поскольку нужно найти значение x + 6, мы просто прибавим 1 к обеим частям этого уравнения и получим или Возьмем опять обратные величины обеих сторон уравнения и получим, что и требовалось найти. Это несомненно более изящный подход.
Задача 6.5
Дан круг и его диаметр; покажите, как разделить площадь на семь частей равной площади без использования прямых линий.
Обычный подход
Обычно при виде такой задачи человек понимает, что циркуль — это то, что надо, и начинает чертить окружности внутри исходного круга в надежде обнаружить какую-либо закономерность. Чаще всего такое упражнение не дает ничего.
Образцовое решение
Возьмем наш круг и отложим от одного края диаметра отрезок, равный одной седьмой части его длины, как показано на рис. 6.2.
Площадь более светлой закрашенной области можно описать, как площадь половины исходного круга плюс площадь полукруга X минус площадь полукруга Y.
Известно, что отношение площадей кругов прямо пропорционально отношению квадратов их диаметров, поэтому площадь более светлой закрашенной области можно представить следующим образом:
Площадь (X + Z) = площадь (Y + Z) — площадь (Y).
Поскольку у трех полусфер отношение диаметров составляет (Y + Z):(Y):(X) = 7:6:1, отношение их площадей равно 49:36:1. Используя это, можно увидеть, что отношение площади более светлой закрашенной области к площади большого полукруга составляет (49–36 + 1):49 (или 14:49), иначе говоря, площадь более светлой закрашенной области равна площади большой полусферы. В этом случае отношение площади более светлой закрашенной области к площади целого круга равно Мы умножаем на потому, что представляет собой отношение к площади круга. Используя эту стратегию, мы можем рассмотреть полукруги с диаметрами AC, AD, AE, AF, AG и AH, которые делят площадь круга на семь частей равной площади.
Задача 6.6
Два поезда, один из Чикаго в Нью-Йорк, а другой из Нью-Йорка в Чикаго (расстояние 800 км) одновременно выходят навстречу друг другу по одной колее и идут с постоянной скоростью 60 и 40 км/ч соответственно. Перед одним из поездов летит пчела со скоростью 80 км/ч. После достижения идущего навстречу поезда пчела разворачивается и летит обратно (все с той же скоростью 80 км/ч). Пчела летает туда-обратно до тех пор, пока поезда не сталкиваются и не сплющивают ее в лепешку. Сколько километров пролетает пчела?
Обычный подход
Эта задача может напомнить читателю известный пример, приводимый в большинстве учебников алгебры, однако в ней есть необычный момент, отсутствующий в подобных задачах на равномерное движение. Естественно, возникает желание определить отдельные расстояния, которые пролетала пчела. Первой реакцией является составление уравнения на основе знакомой формулы: «скорость, умноженная на время, дает расстояние». Однако определение этого пути туда-обратно довольно сложное дело и связано с большим объемом вычислений. В любом случае, решить задачу подобным образом очень сложно.
Образцовое решение
Значительно более изящный подход предполагает решение упрощенной аналогичной задачи (можно сказать также, что
