Задача 5.7
В офисе директора средней школы им. Джорджа Вашингтона висят 50 почтовых ящиков для учителей. Однажды почтальон принес 151 письмо для учителей. Какое наибольшее число писем может гарантированно получит каждый из учителей?
Обычный подход
Нередко человек, столкнувшись с задачей такого рода, действует наугад и не знает с чего начать. Иногда результат приносит метод проб и ошибок, но убедительного решения он точно не дает.
Образцовое решение
Для решения задач такого рода рекомендуется применять анализ экстремумов. Понятно, что один учитель может получить все письма, однако это не гарантировано. Более реальную оценку ситуации дает экстремальная ситуация, когда письма распределяются предельно равномерно. В этом случае каждый учитель получит по 3 письма за исключением одного, которому попадет еще 151-е письмо. Таким образом, четыре письма — это наибольшее из того, что один учитель может гарантированно получить.
Задача 5.8
Точка M лежит на середине стороны AB ΔABC. Точка P может находиться в любом месте на отрезке AM (рис. 5.5). Линия, проведенная через точку M параллельно PC, пересекается с BC в точке D. Какую часть площади ΔABC составляет площадь ΔBDP?
Обычный подход
Площадь ΔBMC равна половине площади ΔABC (в силу того, что медиана делит треугольник на две равные части). Площадь ΔBMC = площадь ΔBMD + площадь ΔCMD = площадь ΔBMD + площадь ΔMPD, которая равна площади площади ΔABC. Это следует из того, что треугольники, вершины которых лежат на линии, параллельной общему основанию, имеют равные площади.
Образцовое решение
Решение этой задачи значительно упрощается при использовании стратегии анализа экстремальных ситуаций. Поместим точку P в экстремальную позицию так, чтобы она совпадала с точкой M или точкой A. Допустим, точка P совпадает с точкой A. Обратите внимание на то, что по мере смещения точки P вдоль BA в направлении точки A линия MD, которая должна оставаться параллельной PC, смещается так, что D приближается к средней точке линии BC. В конечном положении точки D линия AD становится медианой ΔABC. Поскольку медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями, площадь ΔPBD равна половине площади ΔABC.
Данное решение с помощью стратегии анализа экстремальных ситуаций ясно показывает важность отслеживания всех перемещений по мере смещения точки в предельное положение.
Задача 5.9
Два конгруэнтных квадрата, длина стороны которых равна 4 см, размещены так, что вершина одного из них находится в центре другого. Чему равно наименьшее значение площади пересекающейся части (рис. 5.6)?
Обычный подход
Наиболее очевидный прием — построить два квадрата. Некоторые даже вычерчивают их в масштабе и пытаются измерить искомую площадь. Поскольку фигура получается неправильной, измерение ее площади может оказаться сложным.
Другой подход — провести несколько вспомогательных линий, например линии BM и CM. Несложно доказать, что два треугольника BSM и CTM конгруэнтны (конгруэнтность по двум углам и стороне) (см. рис. 5.7). Четырехугольник SCTM равен по площади треугольнику BCM, поскольку площадь треугольника добавляется к площади двух треугольников, которые, как мы доказали, являются конгруэнтными.
Образцовое решение
Поскольку ориентация квадратов не определена в условиях задачи, их можно разместить так, как нам захочется, лишь бы вершина одного находилась в центре другого. Обратимся к нашей стратегии анализа экстремальных ситуаций. Можно разместить квадраты так, как показано на рис. 5.8, где стороны этих фигур взаимно перпендикулярны.
Если этого недостаточно, чтобы удостовериться в равенстве закрашенной области четверти исходного квадрата, то нужно лишь продолжить линии PM и NM до пересечения со сторонами квадрата в точках J и K соответственно, как показано на рис. 5.9.
Очевидно, что закрашенная область равна площади квадрата, или части 16 см2, т. е. 4 см2. Разместив квадраты в определенном положении, мы легко нашли ответ.
Задача 5.10
Найдите значение x, которое удовлетворяет уравнению:
Обычный подход
На первый взгляд задача кажется настолько ошеломляющей, что большинство людей не знают, как к ней подойти. И это не удивительно.
Образцовое решение
Посмотрим на это, как на своего рода экстремальную ситуацию. Начнем с того, что количество x в этом ряду бесконечно. Отбрасывание одной неизвестной x не должно никак влиять на результат в силу характера бесконечности. Таким образом, удалив первую неизвестную x, мы обнаружим, что все оставшиеся x так же должны быть равны 2. Это позволяет переписать уравнение, как x2 = 2. Следовательно x = ±√2. Если ограничиться положительными числами, то ответом будет x = √2.
Ниже показано, как с увеличением ряда значение приближается к 2.
Вот мы и нашли удивительно простое решение для очень сложной на первой взгляд задачи.
Задача 5.11
В одной из старейших телевизионных игр под названием Let's Make a Deal участникам предлагают сделать слепой выбор. Случайно выбранный зритель выходит на сцену и видит перед собой три двери, за одной из которых находится автомобиль, а за двумя другими — ослы. Участник надеется выбрать ту дверь, за которой спрятан автомобиль, а не ту, где стоит осел. Если он угадывает, то получает автомобиль в качестве приза. Однако не все так просто. После того, как участник сделает выбор, ведущий, Монти Холл, который знает, за какой дверью находится автомобиль, показывает одного из ослов (не открывая две оставшиеся двери) и спрашивает участника, хочет ли он оставить первоначальный выбор (что кроется за ним пока неизвестно) или, может быть, передумает и выберет другую неоткрытую дверь. В этот момент, чтобы повысить напряжение, публика начинает скандировать «оставить» или «передумать». Вопрос в том, что делать? Есть ли разница? Если так, то какую стратегию лучше использовать (т. е. что может повысить вероятность выигрыша)?
Обычный подход
Кто-то скажет, что лучше всего принимать решение интуитивно. Большинство, однако, придерживаются мнения, что в любом случае разницы никакой нет, поскольку у вас один шанс из двух получить автомобиль. И те и другие неправы, а раз так, то есть серьезный мотив, разобраться что к чему.
Образцовое решение
Лучше всего рассмотреть эту задачу шаг за шагом, а потом, для уверенности, рассмотреть экстремальную ситуацию и принять решение.
Разберем
