Группа археологов ведет раскопки. Они ежедневно на протяжении 15 дней находят множество осколков глиняной посуды:
13, 45, 12, 47, 8, 18, 13, 27, 98, 11, 23, 67, 51, 14, 6.
Чему равно медианное количество найденных ими осколков глиняной посуды?
При таком представлении количества ежедневных находок решить данную задачу практически невозможно. Организуем данные более логичным образом — в порядке возрастания:
6, 8, 11, 12, 13, 14, 18, 23, 27, 45, 47, 51, 69, 98.
Теперь найти медиану не представляет труда. Это среднее число, в нашем случае восьмое, или 18.
Рассмотрим еще одну задачу, где очень важна организация данных.
Джек и Марлин хотят вступить в клуб любителей кино на DVD. Они получают два предложения. Клуб Freedom Movie взимает вступительный взнос в размере $20, а потом берет $6,20 за каждый фильм. Клуб New Look не требует вступительного взноса, однако берет $8,10 за каждый DVD. Джек решает присоединиться к клубу Freedom Movie, а Марлин — к клубу New Look. Сколько DVD каждый из них должен купить, прежде чем Марлин истратит больше Джека? Насколько больше она истратит?
Чтобы решить задачу, организуем данные в три колонки:
Когда они купят по 11 DVD, Марлин истратит больше денег, чем Джек. Марлин придется заплатить $89,10 − $88,20, или на 90 центов больше. Ответы на оба вопроса легко найти, проанализировав представленные в табличной форме данные.
А вот геометрическая задача, решить которую можно только при тщательной организации данных.
Треугольник имеет сумму сторон и периметр, равные 12. Чему равны длины его трех сторон?
Подготовим и организуем перечень данных, обозначив стороны треугольника, как A, B и C. Начнем с A = 1 и перечисления всех возможностей для A = 1. Затем сделаем то же самое для A = 2 и т. д.
В этом перечне все тройки чисел дают сумму, равную 12. Не забывайте, однако, что в треугольнике сумма любых двух сторон всегда больше третьей стороны, иначе треугольник не может существовать. Это условие исключает большее число сочетаний. Единственные три возможности — это 2–5–5, 4–4–4 и 3–4–5. Представление данных в упорядоченном виде значительно облегчает решение задачи.
В этой главе мы представим задачи, которые наиболее эффективно решаются путем организации данных логичным образом. Хотя некоторые из них можно решить и другими способами, они приводятся для демонстрации преимуществ этого вроде бы необычного метода решения.
Задача 7.1
Между двумя баскетбольными командами устраивают конкурс на лучшее исполнение штрафных бросков. В финал выходят Робби и Сэнди. Победителем становится тот, кто первым выполнит подряд два успешных штрафных броска или в целом три штрафных броска. Сколько комбинаций бросков может привести к победе?
Обычный подход
Большинство начинает с попыток найти все возможные комбинации, которые могут привести к победе. Однако непонятно, как определить, все ли комбинации учтены. Это довольно проблематичная задача.
Образцовое решение
Воспользуемся стратегией организации данных и составим два исчерпывающих перечня путей достижения победы каждым игроком. Первый перечень показывает результаты, когда первый бросок делает Робби, второй — когда первый бросок делает Сэнди.
Существует 10 возможных комбинаций, на которых конкурс завершается. Исчерпывающий перечень комбинаций упорядоченно и наглядно представляет возможности.
Задача 7.2
Сколько треугольников изображено на рис. 7.1?
Обычный подход
Как правило, люди начинают подсчитывать треугольники в том или ином порядке, но без определенной системы. Чаще всего это приводит к путанице и неуверенности в том, все ли треугольники учтены. Другой традиционный подход предполагает использование формальных методов подсчета. В этом случае определяются комбинации, которые могут быть образованы шестью линиями, и исключаются комбинации, образующиеся в результате совпадений. Количество комбинаций из шести линий по три равно 6C3 = 20. Из этого результата нужно вычесть три совпадения (по вершинам). Таким образом, в фигуре на рисунке 17 треугольников.
Образцовое решение
Для упрощения задачи преобразуем фигуру, будем постепенно добавлять линии и считать, что получается в результате использования такой формы организации данных. Иначе говоря, мы будем подсчитывать треугольники, образующиеся при добавлении каждой части. Начнем с исходного треугольника ABC. Итак, в начале мы имеем всего один треугольник.
Теперь рассмотрим треугольник ABC с одной внутренней линией AD. У нас получилось два новых треугольника ABD и ADC.
Добавим еще одну внутреннюю линию BE и подсчитаем все новые треугольники, имеющие сторону BE.
Таким же образом добавим линию CF и опять подсчитаем новые треугольники, имеющие сторону CF.
Представим полученные результаты в табличной форме.
Общее количество перечисленных выше треугольников равно 17.
Задача 7.3
Дана последовательность Найдите положительное целое число n, при котором произведение первых n членов последовательности превышает 100 000.
Обычный подход
В этом случае обычно прибегают к методу проб и ошибок и начинают добавлять члены в последовательность и перемножать их до тех пор, пока произведение не превысит 100 000. Такой подход трудоемок, и его точно нельзя назвать изящным.
Образцовое решение
Напишем сначала произведение первых n членов данной последовательности, что в определенном смысле будет организацией и представлением наших данных в более удобной форме:
«Превышает 100 000» означает, что нам нужно число, большее, чем 105, а это происходит, только когда или n (n + 1) > 110. Когда n ≤ 10, мы получаем n (n + 1) ≤ 110. Таким образом, наименьшее целое значение n, при котором выполняется условие задачи, равно 11.
Задача 7.4
Джером открыл свое первое предприятие по прокату каяков. За прокат он берет почасовую оплату. Каякам присваиваются идентификационные номера, на каждом из них стоят три цифры. Первая цифра — это номер предприятия, а именно 1. Номера у каяков не могут повторяться, а три цифры должны располагаться в возрастающем порядке. Ноль использовать нельзя. Вскоре Джером обнаружил, что использовал все возможные сочетания, которые удовлетворяют условиям. Какое максимальное количество каяков может быть у Джерома?
Обычный подход
Самый распространенный подход — выписывание всех возможных трехзначных чисел, удовлетворяющих условиям задачи. Но как узнать, все ли эти числа учтены? Существует ли метод, обеспечивающий гарантированное решение? Обычный подход явно не самый эффективный!
Образцовое решение
Представим наши данные в табличной форме:
