Затем проведем шесть оставшихся линий параллельно линии l2. Это показано на рис. 7.8. Каждая из этих линий добавляет три новые точки пересечения.
Таким образом, в результате организации исходных данных логичным образом мы получаем следующее количество точек пересечения: 6 × 3 + 4 = 22.
Задача 7.8
Если напечатать все числа от 1 до 1 000 000, сколько раз в них встретится цифра 8?
Обычный подход
Обычно в ответ на такой вопрос, который кажется ошеломляющим, начинают составлять список чисел без какого-либо намека на их организацию. При таком подходе решение зависит от того, удастся ли увидеть какую-нибудь закономерность в числовом ряду.
Образцовое решение
Лучшая стратегия здесь заключается, пожалуй, в организации данных таким образом, чтобы можно было выявить любую закономерность в списке, если она существует.
В представленных выше шести разрядах миллиона цифры 0, 1, 2, 3, 4, …, 8 и 9 используются равное количество раз. Это понятно потому, что каждую «комбинацию» можно составить из каждой из 10 цифр. Таким образом, цифра 8 должна появиться в случаев, или 600 000 раз.
Задача 7.9
У продавца двое часов, которые бьют полночь одновременно. Однако одни часы спешат на 1 минуту в час, а другие отстают на 1 минуту в час. Если такая разница сохранится и дальше, то через какое время их показания совпадут?
Обычный подход
Первая мысль — составить уравнение. Если обозначить за x время, через которое показания часов совпадут, то мы получим 12 + x = 12 — x. Решение этого уравнения дает 2x = 0, и x = 0. От такого решения толку мало.
Образцовое решение
В сутках 24 часа, за это время часы A уйдут вперед на 24 минуты, а часы B отстанут на 24 минуты. Через пять дней часы A уйдут вперед на 5 × 24 = 120 минут, или на 2 часа. В свою очередь часы B будут отставать на 120 минут, или 2 часа каждые пять дней. Воспользуемся нашей стратегией и представим данные в табличной форме.
Из таблицы видно, что на табло обоих часов будет 6:00 в конце 15-го дня. Конечно, одни из них будут показывать 6:00 a.m., а другие — 6:00 p.m. Тем не менее показания совпадут, а именно это и требовалось найти в задаче.
Задача 7.10
Сколько существует положительных трехзначных нечетных чисел, произведение цифр которых дает число 252?
Обычный подход
Чаще всего начинают искать тройки множителей, произведение которых равно 252. Иначе говоря, выписывают наборы из трех цифр, дающие при перемножении 252. Это следует делать упорядоченно, начиная с цифр 1, 1, 252, за которыми следуют 1, 2, 126, затем 1, 3, 84, за ними 1, 4, 63 и т. д. Можно перебирать цифры таким образом до тех пор, пока не попадется хотя бы один набор, который даст нечетное трехзначное число. Не исключено, однако, что таких наборов несколько. Можно ли с уверенностью сказать, что найдены все возможные варианты? «Лобовой» подход не дает нам такой уверенности.
Образцовое решение
Попробуем применить нашу стратегию организации данных. Можно разложить число 252 на множители 2 × 2 × 3 × 3 × 7. Если одна из цифр 7, то другие цифры должны давать при перемножении 36, т. е. 4 и 9 или 6 и 6, поскольку все другие комбинации включают в себя множители, имеющие более одного знака. Комбинируя эти цифры с 7, мы находим пять чисел, которые удовлетворяют условиям задачи. Это 749, 479, 947, 497, 667 — все они нечетные трехзначные числа, а произведение их цифр равно 252.
Задача 7.11
Какое число в следующем ряду самое большое и какое число стоит на втором месте по величине?
Обычный подход
В наши дни рука автоматически тянется к калькулятору. Однако найти ответ может быть не так просто, как кажется, поскольку не все калькуляторы могут извлекать такие корни.
Образцовое решение
Сначала для удобства представим члены заданного ряда в виде степеней с дробными показателями:
Эффективной стратегией здесь является организация данных так, чтобы было легко сравнивать.
Задача 7.12
У класса есть возможность принять участие в походе. Желающих оказалось пять человек, а свободных мест — всего три. В числе желающих — Аманда, Билл, Кэрол, Дэн и Эван. Учитель взял пять листочков бумаги, каждый с именем одного из желающих, положил их в шляпу и вытащил три листочка наугад. Какова вероятность того, что Аманда, Билл и Кэрол попадут в число участников похода?
Обычный подход
Сначала определим, сколько вариантов выбора может существовать. Порядок не имеет значения, поэтому это комбинаторная задача. Из пяти листочков выбирают по три за раз:
Поскольку Аманда, Билл и Кэрол могут выпасть только один раз, ответ
Образцовое решение
Если вы не знакомы с комбинаторными вычислениями, то можете воспользоваться стратегией организации данных. Составим перечень всех возможных сочетаний имен в любом порядке:
Существует 10 возможных вариантов выбора трех человек. Только один из них, а именно ABC, удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, правильным ответом будет один из 10, или
Глава 8
Схематичное изображение, или Визуальное представление
Когда вопросы в задаче касаются определенной геометрической фигуры или рисунка, без слов понятно, что построение схем, или визуальное представление, является неотъемлемой частью метода решения. Это необходимо и помогает решить задачу. Довольно трудно представить, чтобы математики в далекие времена оперировали геометрическими понятиями без рисунков или хотя бы демонстрировали свои геометрические расчеты без использования чертежа. Вместе с тем есть множество задач, где условия не предполагают построения чертежа, однако визуализация того, о чем идет речь, намного облегчает поиск решения. Многие люди лучше воспринимают информацию визуально — чтобы понять происходящее, им нужна картина, а не просто слова. Это не домыслы. Визуализация — очень сильный метод, помогающий вникнуть в данную ситуацию.
Например, когда нужно объяснить, как найти чей-то дом, схема направления движения просто неоценима. Рисунок
