Вот два способа построения гиперболических прямых:
• Начертите окружность, пересекающую гиперболическую плоскость под двумя прямыми углами. Часть окружности внутри гиперболической плоскости представляет собой гиперболическую прямую.
• Проведите прямую через центр гиперболической плоскости. Часть прямой внутри гиперболической плоскости тоже представляет собой гиперболическую прямую.
На чертеже вы можете видеть три прямые на гиперболической плоскости.
Гиперболическая плоскость – это область внутри обозначенной точками окружности. Две гиперболические прямые – дуги пунктирных окружностей, еще одна гиперболическая прямая – диаметр окружности, обозначенной точками. Замечу, что конечные точки дуг и диаметра не относятся к соответствующим гиперболическим прямым. (Обозначенные пунктиром окружности не входят в гиперболическую плоскость, они просто показывают, по какому принципу мы вычерчиваем гиперболические прямые – это части окружностей, пересекающих обозначенную точками окружность под прямыми углами.)
На следующем чертеже вы видите три гиперболические прямые. Две из них пересекаются, а третья параллельна и той и другой! Такое совершенно невозможно на евклидовой плоскости.
ВыводыЗдесь все не так, как мы привыкли. Многие геометрические «факты» на евклидовой плоскости не работают в случае гиперболической плоскости.
Для начала: все не так с треугольниками. На евклидовой плоскости сумма углов треугольника равна 180° (мы доказали это обстоятельство в главе 13, однако опирались на постулат о параллельных прямых). На гиперболической плоскости сумма углов треугольника меньше 180°.
На евклидовой плоскости площадь треугольника может быть настолько большой, насколько мы того хотим. На гиперболической плоскости максимальная площадь треугольника не может превышать некоторой величины, и есть простая формула для подсчета площади. Если сумма углов треугольника равна s, площадь треугольника равна K × (180 – s), где K – определенное число[195]. В соответствии с этой формулой два разных треугольника с равными углами имеют равную площадь. В евклидовой геометрии это не так: скажем, треугольники с углами 35°, 60° и 80° имеют одну и ту же форму (другими словами, подобны), но не обязательно совпадают по размеру. На гиперболической плоскости два треугольника с углами 35°, 60° и 80° не просто совпадают по площади – они конгруэнтны!
Квадрат – это четырехугольник, в котором все углы равны 90°. Вот интересный факт о квадратах на гиперболической плоскости: их попросту не существует! На рисунке изображена фигура на гиперболической плоскости, у которой три угла равны 90°, а четвертый меньше 90°.
Почему прямоугольников здесь нет? Подумаем о четырехугольнике R на гиперболической плоскости. Рассечем его на две части по линии, соединяющей два противоположных угла. Получатся два треугольника. Сумма углов в каждом меньше 180°, поэтому сумма углов образованного ими четырехугольника меньше 360°. Следовательно, все четыре угла не могут быть равны 90°.
Можно замостить евклидову плоскость равносторонними треугольниками или шестиугольниками[196]. Однако нельзя замостить ее правильными пятиугольниками. Почему? Углы правильного пятиугольника равны 108°. Углы при общей вершине трех правильных пятиугольников дают в сумме 324°, что меньше полного угла. Остается зазор. Четыре правильных пятиугольника не могут иметь общую вершину, в противном случае углы при ней давали бы в сумме 432°, что превышает 360°.
В то же время углы правильного n-угольника на гиперболической плоскости зависят не только от n. Мы можем построить правильный пятиугольник, все углы которого равны 90° (посмотрите на иллюстрацию).
Углы при общей вершине четырех таких пятиугольников дают в сумме ровно 360°. Таким образом, ими можно замостить всю гиперболическую плоскость, как показано на рисунке.
Все пятиугольники на рисунке совпадают по размеру и по форме. Они выглядят все меньше и меньше, приближаясь к границе, но это всего лишь особенность изображения гиперболической плоскости. На самом деле все «паркетины» на иллюстрации абсолютно идентичны. Это правильные многоугольники с пятью углами по 90° каждый, и их можно плотно пригнать друг к другу[197].
Вот еще два примера замощения гиперболической плоскости для услаждения ваших глаз.
Часть III
Неопределенность
Глава 19
Нетранзитивные игральные кости[198]
Мир одержим выстраиванием рейтингов. Мы составляем рейтинги атлетов, спортивных команд, больниц, ресторанов, фильмов, поп-музыки, студентов, коллег, городов, работы, машин, и т. д., и т. д. Нам нравится знать «самое-самое» – то, что входит в «первую десятку».
Это все чепуха, забавная чепуха, но тем не менее. Среди прочего чепуха происходит от того, насколько субъективна методология оценки. Если определенный ресторан в вашем городе признан лучшим, это не обязательно ваш любимый ресторан. Ваши предпочтения могут отличаться от суждений ресторанных критиков, а их взгляды на один и тот же вопрос зачастую прямо противоположны.
Можно выбрать объективную систему оценивания и все равно получать ничтожные результаты: например, оценивать фильмы по сумме выручки от их проката – это объективно и поддается подсчету. Можно аргументировано доказать: чем лучше фильм, тем больше людей жаждут заплатить за то, чтобы увидеть его. Но бывает такое, что фильм, сорвавший кассу, навевает на вас скуку, а малобюджетный инди-фильм[199] западает в душу. Выручка от проката обычно говорит скорее о маркетинге, а не качестве картины.
Но, предположим, мы преодолели субъективность и достигли всеобщего соглашения относительно того, как сравнивать конкурентов. Попробуем выпарить идею ранжирования до ее математической сути. Улетучится ли тогда вся чепуха?
Две игральные костиСыграем в простую игру. Каждый бросит кубик, и у кого выпадет больше очков, тот выиграет. Если мы возьмем два обыкновенных кубика, где грани пронумерованы от одного до шести, то нет смысла говорить, что одна чем-то лучше другой. Они одинаковые.
Теперь сменим числа на гранях. Назовем наши игральные кости A и B.
Какая из них лучше, A или B? Какую вы предпочтете?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим все вероятности: как могут выпасть игральные кости? Если игральная кость A выпала числом 2 вверх, то для сравнения есть шесть вариантов того, как может выпасть игральная кость B. Если выпало число 3, вариантов для сравнения опять-таки шесть. Таким образом, есть 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 × 6 = 36 возможностей, и все они равновероятны. Иногда побеждает обладатель игральной кости A, иногда – обладатель игральной кости B (все числа на гранях разные, поэтому нет варианта сыграть раунд вничью). Кто выигрывает чаще?
Составим схему, включающую все 36 возможных комбинаций, где отмечено, кто выигрывает в каждом отдельном случае, A или B.
Становится очевидно, что игральная кость B лучше. В борьбе один на один B одолевает A чаще, чем наоборот. На схеме видно, что A побеждает в 15 случаях из 36, в то время как B – в 21 случае из 36.
Профессиональные игроки скажут, что шансы на победу A равны 15
