Чертеж иллюстрирует основные детали вышеописанной ситуации:
• болезнь редкая – крохотный фрагмент большого прямоугольника символизирует больную часть населения;
• тест верно диагностирует наличие болезни у подавляющей части больных – почти весь прямоугольник слева вверху закрашен серым;
• тест верно диагностирует отсутствие болезни у подавляющего большинства здоровых людей – огромная область большого прямоугольника остается белой;
• ключевой момент: большая часть серой полосы приходится на здоровых людей, поэтому вы, скорее всего, здоровы, если получили отрицательный результат, но не обязательно больны, если получили положительный.
Условная вероятность[205]Мы вычислили вероятность того, что пациент с положительными результатами медицинского тестирования действительно болен. Мы вообразили гипотетический город, где живет миллион человек, и посчитали численность разных категорий населения. Это был способ ad hoc[206]. В общем случае мы должны руководствоваться языком теории вероятностей, и я завершу главу разъяснениями по этому поводу.
Для события A мы обозначаем P (A) вероятность того, что событие A произойдет, и – вероятность того, что событие A не произойдет; таким образом,
Для событий A и B мы обозначаем P (A∧B) вероятность того, что произойдут оба события – и A, и B.
Запись P (A|B) означает вероятность того, что из события A следует событие B; это условная вероятность того, что A влечет за собой B. Формула Байеса[207] говорит нам:
Надежность диагноза, вынесенного на основе упомянутого медицинского теста, может быть выражена на языке математики следующим образом. Пусть S означает, что некто заражен редкой болезнью, а T означает положительный результат тестирования. Таким образом:
• болезнь поразила 0,1 % населения, откуда следует, что P(S) = 0,001;
• тест дает верную информацию о наличии или отсутствии заболевания в 98 % случаев, откуда следует, что P (T|S) = 0,98;
• тест дает верную информацию о том, что человек здоров, в 98 % случаев, откуда следует, что Иначе говоря, тест ошибочен в 2 % случаев:
Вопрос: какова вероятность того, что пациент с положительным результатом тестирования действительно болен?
Если перевести задачу на язык символов, то мы ищем величину P (S|T). По формуле Байеса эта вероятность равна Нам нужно узнать P (S∧T) и P (T).
Начнем хоть с P (S∧T), хоть с P (T∧S). По формуле Байеса
Мы знаем, что P (T|S) = 0,98, а P (S) = 0,001. Следовательно,
P (S∧T) = P (T∧S) = P (T|S) × P (S) = 0,98 × 0,001 = 0,00098.
Теперь вычислим P (T). Нам известно, что В то же время Далее:
Применим формулу Байеса в последний раз:
Это совпадает с нашими предыдущими вычислениями.
Глава 21
Хаос
Что делает событие непредсказуемым? Предыдущие главы были посвящены понятию вероятности. Центральная идея теории вероятностей заключается в том, что некоторые феномены случайны: их нельзя предсказать в точности, поскольку они недетерминированы. Разумно и эффективно рассматривать некоторые феномены внешнего мира, такие как вращение брошенного кубика, в качестве случайных.
Но случаен ли бросок костей в действительности? Возможно, если мы детально знаем все характеристики кубика – от скорости вращения в зависимости от плотности воздуха в комнате до коэффициента трения о поверхность стола, мы сумеем в точности определить, какой гранью вверх он остановится. Возможно, вращение кубика не случайно – просто это чрезвычайно сложное явление.
Есть ли что-нибудь случайное? Физики утверждают, что некоторые феномены действительно непредсказуемы; таков основополагающий принцип квантовой механики. Поведение элементарных частиц, таких как электрон и фотон, нельзя предсказать, поскольку неопределенность – одно из их фундаментальных свойств.
Другие физические, биологические и социальные феномены могут быть чрезвычайно хорошо смоделированы с помощью теории вероятностей. Это потрясающе. Но насколько они случайны? Не исключено, что они чересчур сложны для понимания.
Так возникает главный вопрос этой главы: может ли система быть простой, полностью детерминированной, но все же непредсказуемой?
ФункцииКлючевая идея этой главы – итерация функций. Под итерацией мы подразумеваем повторение одной и той же операции снова и снова. Что математики подразумевают под функцией?
Функции можно рассматривать в качестве своего рода «черных ящиков», преобразующих одно число в другое[208]. Вообразим, что у черного ящика есть входной лоток, куда мы засыпаем числа, дальше мы крутим ручку, машина делает свое дело, и на выходе из ящика вываливаются новые числа.
Например, представим себе ящик, выполняющий следующую операцию. Мы бросаем туда число, он возводит его в квадрат, добавляет к результату единичку и выплевывает то, что получилось. Дадим этой функции имя; назовем ее «возведи в квадрат и прибавь один». Вот как она работает с числом 3:
Описывать действия функции словами обременительно, гораздо проще использовать математические символы. Что касается числа 3, мы вначале возводим его в квадрат: 3² = 9, а затем прибавляем единичку: 3² + 1 = 10. Как будет выглядеть результат с числом 4? Очевидным образом, 4² + 1 = 17.
Вместо длинных имен (вроде «возведи-в-квадрат-и-прибавь-один»), математики обозначают функцию какой-нибудь буквой, чаще всего f. Число, с которым имеет дело функция, помещают в круглые скобки сразу за буквой, например: f(4).
Эта форма записи удобна для описания функции:
f(x) = x² + 1.
Это значит, что функция превращает число x в число x² + 1.
Вот еще один пример. Определим новую функцию g таким образом:
g(x) = 1 + x + x².
Чему равно g(3)? Мы подставляем число 3 в формулу и получаем:
g(3) = 1 + 3 + 3² = 13.
Функции можно комбинировать, чтобы одна операция следовала за другой. Подумаем, чему равно f(g(2)).
Это выражение вынуждает нас вычислить функцию f от какой-то величины. От какой? Она зависит от того, чему равно g(2). А чему оно равно? g(2) = 1 + 2 + 2² = 7. А теперь посчитаем f(7) = 7² + 1 = 50. Если уложить всё в одну строчку, получится:
f(g(2)) = f(7) = 50.
Давайте проверим, хорошо ли вы усвоили материал. Посчитайте g(f(2)). Это не 50! Верный ответ – в конце главы.
Вернемся к определению итерации. Как я уже сказал, итерация означает просто повторение одной и той же операции снова и снова. Еще раз: итерация означает просто повторение одной и той же операции снова и снова. Еще раз: итерация означает просто повторение… (Окей, надеюсь, вы уловили юмор.)
Подумаем о функции f(x) = x² + 1. Запись f(f(x)) означает, что мы применяем операцию f дважды: берем число x, закидываем его в функцию f, а потом снова закидываем то, что получилось, в функцию f. Вот пример:
f(f(2)) = f(2² + 1) = f(5) = 5² + 1 =
