Как ни назови это преимущество, но B явно лучше A.
СоперникДобавим еще одну игральную кость. Внимание, появился новый соперник! Пусть на грани C нанесены числа, указанные на схеме.
C рьяно вызывает на бой B. Кости кидают, и побеждает та, где выпало наибольшее число. Какая из них лучше, B или C? Как и раньше, начертим схему и посмотрим, какая игральная кость имеет больше шансов на победу.
Мы видим, что C выигрывает гораздо чаще, чем B. Вероятность победы C равна 25/36 (около 69 %), в то время как B побеждает с вероятностью 11/36 (около 31 %).
В схватке один на один C лучше B, а B лучше A.
Значит, C лучше всех, верно?
Триумф неудачникаКазалось бы, среди трех игральных костей A слабее всех, а C сильнее всех. Что будет, если C сразится с A? Разумеется, C победит?
Начертим снова схему всех возможностей:
Посмотрите! A лучше C. Игральная кость A выигрывает с вероятностью 21/36 (около 58 %), а C – с вероятностью 15/36 (около 42 %).
Мы пришли к трем ошарашивающим выводам:
– B лучше A;
– C лучше B;
– A лучше C.
Ни одну из игральных костей нельзя назвать «лучшей», и ранжировать их бессмысленно.
Сколько еще рейтингов в нашей жизни лишены смысла?
Другие примерыВот еще несколько игральных костей для изучения; эту задачу придумал Брэдли Эфрон, профессор статистики в Стэнфорде.
Сравним четыре игральные кости. Проработайте варианты, когда № 1 противостоит № 2, № 2 противостоит № 3, № 3 противостоит № 4, и № 4 противостоит № 1. Какая игральная кость лучше в каждой схватке? Как вы их проранжируете?
Ответы – в конце главы.
Вы играете в покер? Говоря точнее, вы играете в техасский холдем[200]? Допустим, два человека играют в техасский холдем, и вы украдкой заглянули в их «карманные» карты. Пусть у первого на руках A♠K♥, а у второго 10♦9♦. У кого выше вероятность выиграть? У первого игрока карты большего достоинства, зато у второго игрока больше шансов на стрит[201] и флэш[202].
Нам необходима дополнительная информация о пяти общих картах, лежащих рубашкой вниз. В колоде осталось 48 карт из 52. Нам придется перебрать все варианты, какими могут быть перетасованы эти карты, чтобы выяснить, какие пять карт окажутся на столе и кто из двух игроков победит (или же оба сыграют вничью). Есть около двух миллионов комбинаций по 5 карт из 48 карт[203]. Нам не под силу провести все расчеты самостоятельно, поэтому прибегнем к помощи компьютера. Забейте в поисковик словосочетание «покерный калькулятор», и вы найдете уйму сайтов, где можно провести необходимые вычисления.
С помощью покерного калькулятора мы выясним, что игрок с «карманными» картами A♠K♥ побеждает с вероятностью 58,6 %, игрок с «карманными» картами 10♦9♦ побеждает в 41 % случаев, а 0,4 % остается на ничью.
Вывод: лучше иметь «карманные» карты A♠K♥, чем 10♦9♦.
Теперь ваша очередь. С помощью покерного калькулятора сравните шансы на выигрыш двух игроков со следующими наборами «карманных» карт:
– 10♦9♦ и 2♣2♥.
– 2♣2♥ и A♠K♥.
Дальше попробуйте построить рейтинг трех наборов «карманных» карт: A♠K♥, 10♦9♦ и 2♣2♥. Глава подошла к концу, поэтому вы вот-вот узнаете ответ.
Глава 20
Вероятность в медицине
Объявлено медицинское тестирование, диагностирующее наличие или отсутствие некой редкой болезни. Это чрезвычайно надежный тест. Вы принимаете решение пройти его и с ужасом получаете положительный результат. Насколько стоит беспокоиться?
Перевести беспокойство на язык цифр непросто, но в подобных ситуациях нужно сосредоточиться, потому переформулируем вопрос: насколько велика вероятность, что вы действительно подхватили это редкое заболевание?
Для ответа необходимо знать уровень надежности теста, а кроме того, как мы скоро увидим, уровень распространения болезни. Вот эти данные.
Редкая болезнь поразила 0,1 % населения. Состояние здоровья одного человека из тысячи вызывает тревогу.
Тест не идеален, как и всякий медицинский тест. Предположим, он дает верную информацию в 98 % случаев. Таким образом:
– среди 100 здоровых людей 98 человек получают верный отрицательный результат и 2 человека – неверный положительный;
– среди 100 больных людей 98 человек получают верный положительный результат и 2 человека – неверный отрицательный.
Разумеется, мы хотим пройти еще более надежный тест, но предположим, что это единственный возможный способ диагностировать наличие или отсутствие болезни.
Вопрос: если результаты теста положительные, какова вероятность того, что вы больны?
Ответ выглядит очевидным. Мы указали, что тест дает верные результаты в 98 % случаев. Таким образом, вы больны с вероятностью 98 %. Верно?
Вообразим город с миллионом жителей. Один из тысячи болен. Другими словами, 1000 жителей больны и 999 000 здоровы.
Все жители проходят медицинское тестирование. Посмотрим, сколько будет положительных результатов, если тест эффективен на 98 %.
• Среди тысячи больных жителей положительный результат получит большинство, но не все. Их количество 1000 × 0,98 = 980.
• Среди 999 000 здоровых жителей большинство покинет поликлинику с радостной новостью об отсутствии болезни, но 2 % получат ложный результат. Это дает еще 999 000 × 0,02 = 19 980 положительных результатов.
В общей сложности 980 + 19 980 = 20 960 жителей получат положительный результат.
Теперь мы можем правильно ответить на поставленный вопрос: какова вероятность того, что вы больны, если ваш результат тестирования положительный?
Среди двадцати с лишним тысяч людей с положительным результатом всего лишь меньше тысячи действительно больны. Точная вероятность правильности теста в этом случае равна
Вероятность того, что вам стоит беспокоиться, не равна 98 %! На самом деле вероятность того, что вы заражены этой редкой болезнью, меньше 5 %!
Стало быть, тесту грош цена? Не совсем.
Во-первых, если ваш лечащий врач имеет веские причины предполагать у вас наличие этого редкого заболевания, вы больше не «случайный» пациент. И если у вас действительно прослеживаются определенные симптомы, вероятность того, что вы заражены, уже не одна тысячная, а скажем, одна четвертая[204]. В этом случае положительный результат тестирования имеет гораздо больший смысл, чем нестрого обоснованные выводы.
Во-вторых, если болезнь действительно опасна, тест, эффективный на 98 %, позволяет хорошо просеять большие массы населения на предмет наличия или отсутствия болезни. Пациенты с положительным результатом могут пройти вторую диагностику, дающую еще более точные результаты.
Разумеется, отрицательный результат – не повод успокаиваться полностью. Какова вероятность того, что он верен? (Ответ я дам в конце главы.)
Интуиция отказывается принимать тот факт, что тест, надежный на 98 %, может быть настолько несовершенным, но вычисления говорят сами за себя. Впрочем, голые цифры могут обманывать нашу интуицию. Попробуем нарисовать картинку.
Заметим: диаграмма не соблюдает пропорции (0,1 % больных, эффективность теста 98 %).
На чертеже большой прямоугольник изображает все население. Фрагмент прямоугольника слева вверху обозначает группу больных жителей, оставшаяся часть – группу здоровых жителей.
