Действительные и мнимые числа можно вообразить себе следующим образом. Действительные числа представлены линией, идущей слева направо: нуль расположен в середине, отрицательные числа, вроде –1, –2 и т. д., – слева, а положительные числа, такие как 1, 2 и т. д., – справа. Мнимые числа представлены линией, идущей снизу вверх, и числа i, 2i и т. д. расположены выше середины, а числа – i, –2i и т. д. – ниже середины. Таким образом, мнимые числа можно рассматривать как действительные числа, повернутые на прямой угол.
Во избежание технических проблем с фейнмановским суммированием по траекториям следует использовать мнимое время, то есть прибегнуть при расчетах времени ко мнимым, а не действительным числам. При переходе к мнимому времени наблюдается интересный эффект – в пространстве-времени полностью стирается различие между временем и пространством. Пространство-время, в котором событиям соответствуют мнимые величины на оси времени, называется евклидовым – в честь древнегреческого математика Евклида, основателя геометрии двумерных поверхностей. То, что мы сейчас называем евклидовым пространством-временем, – это примерно то же самое, только измерений теперь не два, а четыре. В евклидовом пространстве-времени нет различия между направлением во времени и направлениями в пространстве. С другой стороны, в действительном пространстве-времени, где все события задаются обычными, действительными числами на оси времени, различие очевидно: временно́е направление во всех точках лежит внутри светового конуса, а пространственные направления – вне его. В любом случае, если речь идет об обычной квантовой механике, использование мнимого времени и евклидова пространства-времени можно рассматривать как математический трюк при расчетах в действительном пространстве-времени[37].
Второе свойство, которое, как мы полагаем, должно отличать искомую теорию, – согласованность с представлением Эйнштейна о гравитационном поле как искривленном пространстве-времени: частицы стремятся двигаться вдоль аналогов прямых траекторий в искривленном пространстве, но, поскольку пространство-время не плоское, траектории частиц оказываются искривленными, как если бы частицы находились под воздействием гравитационного поля. Если применить фейнмановский метод суммирования по траекториям к эйнштейновской теории тяготения, аналогом траектории частицы является все искривленное пространство-время, представляющее историю всей Вселенной. Чтобы справиться с техническими сложностями при суммировании по траекториям, эти искривленные пространственно-временные структуры следует рассматривать как евклидовы. То есть время является мнимым и не отличается от пространственных измерений. Для расчета вероятности обнаружения действительного пространства-времени, обладающего некоторым свойством, – например, имеющего одинаковый вид в любой точке и в любом направлении, – следует сложить волны, связанные со всеми траекториями, обладающими этим свойством.
В классической общей теории относительности мы имеем множество разновидностей искривленного пространства-времени, соответствующих разным начальным состояниям Вселенной. Если бы мы знали начальное состояние нашей Вселенной, мы бы знали всю ее историю. Точно так же квантовая теория гравитации допускает множество различных возможных квантовых состояний Вселенной. Опять же, если бы имели представление о том, как евклидовы разновидности искривленного пространства-времени, входящие в сумму по траекториям, вели себя в раннюю эпоху, то знали бы квантовое состояние Вселенной.
В классической теории гравитации, основанной на действительном пространстве-времени, Вселенная может проявлять себя только двумя способами: либо она существовала бесконечное время, либо у нее было начало – в сингулярности в какой-то момент времени в прошлом. В рамках квантовой теории гравитации появляется третья возможность. Благодаря использованию евклидовых разновидностей пространства-времени, где временно́е и пространственные направления равноправны, пространство-время может иметь конечную протяженность и при этом не иметь сингулярностей, образующих границу или край. Пространство-время напоминало бы поверхность Земли, но с двумя дополнительными измерениями. Поверхность нашей планеты конечна, но не имеет границ: взяв курс на закат, вы не свалитесь с края и не утонете в сингулярности (я знаю, потому что объехал вокруг света!).
Если евклидово пространство-время протянулось назад в мнимом времени до бесконечности или же начинается с сингулярности во мнимом времени, то, задавая начальное состояние Вселенной, мы сталкиваемся с той же проблемой, что и в классической теории: Богу может быть известно, как началась Вселенная, но у нас нет никаких поводов предпочесть одно начальное состояние другому. С другой стороны, квантовая теория гравитации открыла новую возможность: если у пространства-времени нет границ, нет необходимости задавать поведение Вселенной на границе. В этом случае не существует сингулярностей, где бы нарушались законы физики, а у пространства-времени нет краев, где нам бы потребовался Бог или некий новый закон, чтобы задать граничные условия пространства-времени. Можно сказать: «Граничное условие Вселенной состоит в том, что у Вселенной нет границ». Так Вселенная окажется полностью самодостаточной, не подверженной какому-либо влиянию извне. Ничто и никто не создал ее, ничто и никто ее не разрушит. Она просто есть.
Именно на конференции в Ватикане, уже упомянутой, я впервые высказал предположение, что, возможно, пространство и время совместно образовали поверхность, конечную по размеру и притом безграничную. Правда, моя статья носила скорее математический характер, и поэтому ее следствия о роли Бога в сотворении космоса тогда не были осознаны большинством (да и мной самим). Ко времени ватиканского мероприятия я еще не знал, как воспользоваться безграничностью для предсказаний о Вселенной.
Следующее лето я провел в Калифорнийском университете в Санта-Барбаре. Там с моим другом и коллегой Джеймсом Хартлом мы установили, каким условиям должна удовлетворять Вселенная, чтобы пространство-время не имело границ. По возвращении в Кембридж я продолжил работу с двумя своими аспирантами, Джулианом Латтрелом и Джонатаном Хэлливеллом.
Идея о том – и это важно отметить, – что пространство и время конечны, но при этом не имеют границ, есть гипотеза: ее нельзя вывести из какого бы то ни было другого принципа. Как и любую другую научную теорию, ее можно выдвинуть из чисто эстетических или метафизических соображений, но подлинной проверкой являются предсказания на ее основе, которые согласуются с наблюдениями. В случае квантовой теории гравитации это, однако, трудно обеспечить по двум причинам. Во-первых, как станет понятно из главы 11, мы пока не уверены, какая из теорий успешнее других сочетает общую теорию относительности и квантовую механику, хотя уже много знаем о том, какую форму эта теория должна иметь. Во-вторых, любая модель, в подробностях описывающая целую Вселенную, будет математически слишком сложной, чтобы с ее помощью получить точные предсказания. Поэтому приходится делать упрощающие предположения и использовать приближения, хотя и в этом случае получение предсказаний остается чрезвычайно трудной задачей.
Каждая траектория в фейнмановском методе описывает не только пространство-время, но и все, что в нем находится, включая сложные организмы – например людей, – которые могут наблюдать историю Вселенной. Это дает нам дополнительный аргумент в пользу антропного принципа: если все траектории (истории) возможны, то, раз мы существуем внутри одной из траекторий (историй), мы можем применить антропный принцип, чтобы объяснить, почему Вселенная такова, какова она есть. О смысле других историй, или траекторий, в которых нас нет, сложно судить однозначно. Однако этот взгляд на квантовую теорию гравитации был бы куда более приемлемым, если бы удалось показать, что наша Вселенная – не просто одна из многих возможных траекторий, но и одна из наиболее вероятных. Для этого надо выполнить
