на ООН, ръководена години наред от починалия посланик Шърли Хамилтън Амарасинг. Наистина е жалко, че Шърли (от гостоприемството на чийто апартамент често се възползвах през 70-те години) не видя кулминацията на своите усилия. Той беше човек с невероятна способност да убеждава другите и ако беше останал жив, може би щеше да предотврати недоразуменията между американските и английските представители.
Особено съм благодарен на моя сътрудник Джентри Лий (съавтора ми от „Люлка“ в трилогията „Рама“), защото подреди плановете си така, че успях да съсредоточа цялата своя енергия върху последната си книга.
Специални благодарности и на Навам и Сали Тамбая — да не говорим за Таша и Синди — за гостоприемството, факсовете и всичко…
И накрая — почит към скъпия ми приятел Реджиналд Рос, който наред с другата оказана ми помощ ме запозна с Рахманинов и Елгар и който почина на 91 годишна възраст, докато се пишеше тази книга.
Бележка за Манделбротовото множество
Литературата за множеството на Манделброт, въведено за първи път в некомпютърния свят от А. К. Дюдни в статията му „Компютърни развлечения“ („Сайънтифик Америкън“, август 1985, с. 16–25), е вече огромна. Книгата на самия Манделброт „фрактална геометрия на природата“ (У. X. Фрийман, 1982) е прекалено сложна и неразбираема дори за онези, които смятат, че имат някакви математически наклонности. И въпреки това голяма част от текста е информативна и увлекателна, така че си струва човек да я прегледа. Тя обаче съдържа съвсем кратки сведения за М-множеството, чието изучаване едва започваше през 1982 г.
„Красотата на фракталите“ (Х-О. Пейтген и П. X. Рихтер, „Шпрингер Ферлаг“, 1986) беше първата книга, показала М-множеството в разкошни снимки на „Техниколор“, и съдържа чудесното (и на места доста забавно) есе на самия д-р Манделброт за неговия произход и откриването (измислянето?) му. Авторът описва по-късните превъплъщения на множеството в „Науката на фракталните образи“ (под редакцията на Х-О. Пейтген и Дитмар Саупе, „Шпрингер ферлаг“, 1988). И двете книги са предимно за тесни специалисти.
Много по-достъпни за широката — макар и с поспециални интереси — читателска публика е „Вселената на креслото“ („У. X. Фриман“, 1988). Тя съдържа оригиналната статия от броя на „Сайънтифик Америкън“ от 1985 г. с осъвременена информация за софтуерните продукти за персонални компютри. Лично аз съм много доволен от програмата MandFXP от Cygnus Software, 1215 Davie St, P.O.Box 363, Vancouver BC, V6E 1N4, Канада, която активно използвам на своя компютър AMIGA 2000. По време на създаването на телевизионния документален филм „Господ, вселената и всичко останало“ за английския Канал 4 имах рядката възможност да покажа на Стивън Хокинг някои красиви „черни дупки“, които открих, докато разширявах обхвата на Множеството до размер, който би изпълнил орбитата на Марс. Друг разпространител на софтуеър за Множеството (за компютри „Макинтош“ и Ай Би Ем) е Sintar Software, 1001, 4th Ave., Suite 3200, Seattle, WA 98154.
He е нужно да споменавам, че съществуват специални списания за любителите на Манделбротовото множество, съдържащи съвети за оптимизирането на програмите, бележки от изследователи на далечни области на множеството и дори мостри от нов словесен жанр — фракталлитература!
Несъмнено най-добрият начин за оценяване възможностите на множеството е чрез видеозаписи на образите му, обикновено придружавани от музика. Най-известна сред тези композиции е „Нищо друго освен увеличение на изображението“ от Art Matrix, P.O.Box 880, Ithaca, NY 14851. Хареса ми и „Фрактален балет“ (The Fractal Stuff Company, P.O.Box 5202, Spokane, WA 99205–5202).
Ако искаме да бъдем точни, „крайният запад“ на М-множеството е точно на –2, а не на –1,999… до безкрайност, както се твърди в глава 18. Но нима някой ще го направи на въпрос?
Не зная дали съществуват случаи на заболели от манделмания, но очаквам да получа такива съобщения след появяването на тази книга, като предварително отхвърлям всякаква отговорност за тях.
Приложение
Цветовете на безкрайността
През ноември 1989 г., когато получавах наградата за особени постижения, присъдена ми от Асоциацията на космическите изследователи в Рияд, Саудитска Арабия, имах възможността да се обърна към най- голямата събрала се на едно място аудитория от астронавти и космонавти. (Бяха повече от петдесет души, включително екипажът на „Аполо И“ — Бъз Олдрин и Майк Колинз, както и осъществилият първата „космическа разходка“ Алексей Леонов, който вече не изпитва неудобство от факта, че „2010: Одисея две“ е посветена едновременно на него и на Андрей Сахаров.) Реших да разширя кръгозора на слушателите си, като им представя нещо наистина огромно, и под председателството на астронавта принц Султан бин Салман бин Абдул Азиз изнесох една богато илюстрирана лекция, озаглавена „Цветовете на безкрайността — изследване на фракталната вселена“.
Страниците, които следват, са откъс от моята лекция; друга част от нея е публикувана в началото на глава 15. Съжалявам единствено, че не мога да я илюстрирам с разкошните 35-милиметрови диапозитиви и видеоматериали, които използвах в Рияд.
Днес всеки е запознат с графиките, особено с онази, изобразяваща времето по хоризонталната ос и цената на живота, която стремително се изкачва нагоре по вертикалната ос. Идеята, че всяка точка от една равнина може да бъде представена от две числа, обикновено записвани като x и y, днес е толкова очебийна, че е просто изненадващо как математическият свят е трябвало да чака до 1637 г., когато Декарт е установил този факт.
Ние все още преоткриваме последиците от тази очевидно проста идея и най-изумителната от тях вече навърши десет години. Тя се нарича множеството на Манделброт (оттук нататък М-множество), чиито превъплъщения скоро ще започнете да откривате навсякъде — в щампите на тъкани, тапети, линолеум, формите на бижута. Боя се, че скоро ще започнат да се появяват и върху екрана на телевизорите ви във всеки втори рекламен клип!
И все пак най-вълнуващата черта на М-множеството е неговата простота. За разлика от почти всичко останало в съвременната математика, всеки ученик може да разбере как се образува. Създаването му не включва нищо по сложно от обикновено събиране и умножение; то дори не налага такива сложни действия като изваждане или — да пази Господ! — деление, да не говорим за по-екзотичните зверове от математическата менажерия.
Малко са хората от цивилизования свят, които не са се сблъсквали с известната формула на Айнщайн E = me2 или които я смятат за безнадеждно сложна за разбиране. Всъщност уравнението, определящо М-множеството съдържа, същия брой членове и прилича много на формулата на Айнщайн. Ето го:
Z = z2 + v
Изобщо не е ужасяващо, нали? И все пак цялото време на съществуване на вселената не би ни стигнало за изследване на всичките му стойности.
Членовете z и c в уравнението на Манделброт са числа, за разлика от Айнщайновото уравнение, където са физически понятия като маса и енергия. Това са координатите, които определят местоположението на една точка, а уравнението управлява начина, по който тази точка се движи в координатната система.
Много прост аналог на всичко това можем да открием в детските книжки с празни страници, изпъстрени с числа и точки, при съединяването на които по подходящ начин се образуват най-неочаквани скрити картинки. Телевизионното изображение се получава чрез доста по-сложното приложение на същия принцип.
На теория всеки, който умее да събира и умножава, би могъл да начертае М-множеството с молив или писалка на милиметрова хартия. Но както ще видим по-късно, възникват известни практически трудности и по-специално тази, че продължителността на човешкия живот рядко надхвърля сто години. Ето защо множеството задължително се генерира от компютър и обикновено се изобразява на екрана на монитор.
