Призракът от големите плитчини

да изследва уравнението, което го направи световноизвестен и което сега ще изпиша в динамичния му вид:

Единствената разлика между него и уравнението, което използвахме за образуване на К-множеството, е членът с. Сега той, а не z е отправната точка за съставянето на новата карта на стойностите. При първата серия z ще бъде равно на 0.

На пръв поглед промяната е незначителна, но никой не може да си представи новата вселена, която ще ни разкрие тя. Самият Манделброт не е имал и най-малката представа за евентуалния резултат до пролетта на 1980 г., когато компютърът му започнал да отпечатва някакви неясни очертания.

Новото уравнение задава и отговаря на същия въпрос, както и преди: каква форма има очертаната територия, в която сме задали стойностите си? За К-множеството тя беше кръг с радиус 1. Да видим сега какво ще стане, когато започнем с тази стойност в М-уравнението. Всеки е в състояние да извърши действията наум поне за първите няколко стъпки. А след няколко десетки серии дори един суперкомпютърът ще се поизпоти.

Като начало: z = 0, с = 1. Така Z = 1

Първа стъпка: Z = 1² + 1 = 2

Втора стъпка: Z = 2² + 1 = 5

Трета стъпка: Z = 5² + 1 = 26

Четвърта стъпка: Z = 26² + 1 … и т.н.

Веднъж зададох на моя компютър по-високи стойности на отделните членове на уравнението (поради ограничените ми способности на програмист) и той даде само две нови стойности, преди да започне да закръгля:

1, 2, 5, 26, 677, 458 330,

21 006 640 000

4 412 789 000 000 000 000 000

И тук се отказа, защото не повярва, че може да съществуват числа с повече от 38 знака.

Според мен дори първите два или три резултата са съвсем достатъчни, за да покажат, че М- множеството има съвсем различна форма в сравнение с идеално кръглото К-множество. Точката 1 е в К- множеството; в действителност тя определя границата му. Една точка на същото разстояние може да бъде извън границите на М-множеството.

Забележете, че употребих „може“, а не „трябва“. Всичко зависи от първоначалната посока, от ориентацията, от отправната точка, която досега можехме да игнорираме, тъй като не оказваше никакво влияние на нашето съвсем симетрично К-множество. Излиза, че М-множеството е симетрично единствено около абцисата, хоризонталната ос.

Човек може да се досети за това от природата на уравнението. Но никой не би могъл по интуиция да отгатне действителния му вид: ако някой ми беше задал този въпрос в дните преди Манделброт, навярно бих отговорил напосоки: „Нещо като елипса, сплесната по ординатата.“ Вероятно (макар че силно се съмнявам) бих направил някакво вярно предположение, че ще бъде малко отместена наляво, или към минуса.

Тук бих искал да проведа един мислен експеримент с вас. Тъй като М-множеството изобщо не подлежи на описание, ето моят опит да ви го представя пообразно:

Представете си, че гледате отгоре една доста тлъста костенурка, плуваща на запад. Костенурката е някаква странна кръстоска с риба-меч, така че има тесен заострен шип, който стърчи далеч пред нея. Целият периметър на черупката й е богато украсен със странни морски образувания — или с малки костенурчета с най-различни размери, по които растат по-малки водорасли…

Опитайте се да намерите подобно описание в който и да е учебник по математика. И ако мислите, че ще ви стане по-ясно, стига наистина да видите това чудовище, опитайте се да си го представите. (Подозирам, че светът на насекомите е в състояние да ни предложи и по-добри аналози; възможно е да съществува Манделбротов бръмбар дълбоко в горите на Бразилия. Жалко е, че надали някога ще узнаем със сигурност това.)

Ето първото грубо приближение, изчистено от детайлите, точно както езерото Манделброт в замъка Конрой (глава 18).

Забележете преди всичко, че — както вече отбелязах — то се е преместило наляво (или на запад, ако ви харесва повече) на К-множеството, което, разбира се, се простира от +1 до –1 по оста x. М-множеството достига само до 0,25 вдясно по оста, макар че нагоре и надолу по оста се издува до малко над 0,4.

Наляво фигурата се простира до –1,4, а след това се трансформира в странна пика — или антена, която достига до –2. Колкото до М-множество, отвъд тази точка няма нищо; това е „ръбът“ на вселената. Любителите на Манделброт я наричат „крайния запад“ и ще видите какво става, когато с стане равно на –2. Z не се превръща в нула, но и не отива към безкрайност, така че точката принадлежи към Множеството. Но ако направите с съвсем малко по-голямо, да кажем –2,00000…000001, преди да се усетите, пресичате Плутон и се насочвате към Квазерния запад.

Сега стигаме до най-съществената разлика между двете множества. Границата на К-множеството е чиста, обикновена крива линия. Границата на М-множеството е, да го кажем най-просто, нащърбена. До каква степен е нащърбена ще разберете, когато започнем да навлизаме по-дълбоко в него; едва тогава ще можете да видите невероятните флора и фауна, които процъфтяват в тази оспорвана територия.

Границата — човек може да я нарече така — на Ммножеството не е линия; тя е нещо, което Евклид не би могъл да си представи изобщо и за което не съществува дума във всекидневния език. Манделброт, който притежава потресаващи познания по английски, е преровил речника за подходящи съществителни, определящи образите. Ето няколко примера: пени, плесени, паяжини, мрежи. Той сам е „изковал“ техническия термин „фрактал“ и сега прави всичко възможно да попречи на който и да било да го определи по-точно.

Компютрите могат лесно да направят „моментни снимки“ на М-множеството при всякакво увеличение и черно-белите такива снимки са привлекателни. Но с един прост трик всички те могат да бъдат оцветени и да се превърнат в предмети с удивителна, дори нереална красота.

Оригиналното уравнение е свързано с цветовете почти толкова, колкото и „Елементи на геометрията“ на Евклид. Но ако зададем на компютъра да оцвети някоя област в съответствие със стъпките, през които е преминало z, преди да реши дали принадлежи към Ммножеството, резултатите са направо страхотни.

Макар и произволни, цветовете не са безсмислени. Техният точен аналог може да се открие в картографията. Припомнете си контурите на релефните карти, които обозначават височината над морското равнище. Разстоянията между тях са оцветени така, че окото по-лесно да обхване информацията, който те съдържат. Същото се отнася и до океанографските карти колкото е по-дълбок океанът, толкова по-тъмен е синият цвят. Картографите могат да зададат какъвто цвят им хареса и се ръководят колкото от географски, толкова и от естетически съображения.

Тук е абсолютно същото, но с тази разлика, че цветовете се задават автоматично от скоростта, с която се извършват изчисленията; няма да навлизам в подробности. Все още не съм установил кой гений пръв го е открил — може би самият мосю М., — но като цяло образите са фантастични художествени творби. Само да ги видите, когато се раздвижат…

И тук е времето за една от многото странни мисли, които поражда М-множеството. По принцип то е можело да бъде открито още когато човешката раса се е научила да брои. Но на практика създаването на дори най-умаления образ може да изиска милиарди изчисления, така че необходимостта от мощни компютри е неизбежна. Без тях филми като „Нищо друго освен увеличение на изображението“ на „Арт Матрикс“ биха