границ]. Однако этого явления вовсе не усматривается, но границы тел и до присоединения, и после присоединения оказываются теми же самыми, какими они являлись и раньше, в процессе самого присоединения. Следовательно, две линии не становятся одной.
155
Впрочем, если бы две линии даже становились одной, то нужно было бы, чтобы присоединяемые друг к другу тела становились на один край меньше. Ведь две линии стали одной, которая должна иметь и одну границу и один край. Однако присоединяемые друг к другу тела не становятся меньше на один край. Поэтому две линии не могут стать одной линией.
Однако если две линии с присоединением одного тела к другому пойдут одна возле другой, то составленное из двух линий будет больше одной линии. Если же то, что возникает из двух линий, больше одной линии, то каждая из них должна обладать шириной, которая в соединении с другой шириной создает большее расстояние. И таким образом, линия не есть длина без ширины.
Следовательно, одно из двух: или нужно отбросить очевидность, или, если она остается, нужно устранить мнение геометров, согласно которому они полагают, что линия есть длина без ширины.
Итак, вот что нужно нам прежде всего сказать против принципов геометрии. Однако, переходя к дальнейшему, мы выставим учение, что исследование не может сдвинуться с места с точки зрения их же собственной предпосылки.
Как известно, их мнение таково, что прямая линия, как мы и говорили выше [16], своим вращением всеми своими частями описывает круг. Однако с этой теоремой, хотя она и очень содержательная, находится в противоречии то, что линия есть длина без ширины. Рассмотрим дело следующим образом.
Именно, если, как они говорят, каждая часть линии содержит точку, а точка своим вращением описывает круг, то, по их учению, необходимо, чтобы всякий раз, когда прямая линия, вращаясь и описывая всеми своими частями круг, отмеривает на плоскости расстояние от центра до самой внешней окружности, тогда описываемые круги оказываются или непрерывно [следующими] один за другим или находящимися друг от друга на известном расстоянии. Но если они находятся друг от друга на известном расстоянии, то из этого должно следовать, что имеется некоторая часть плоскости, не занимаемая кругом, и часть прямой, которая хотя и прошла это расстояние, но не описала круга. А это нелепо. Ведь прямая линия или не содержит точки в данной своей части, или, если содержит, то не описывает круга. А то и другое из этого противоречит геометрическому ученику поскольку в нем утверждается как то, что всякая часть линии содержит точку, так и то, что всякая точка своим вращением описывает круг.
156
С другой стороны, если они полагают, что круги непрерывно [следуют] один за другим, то или они занимают одно и то же место, или они расположены один около другого, причем посередине не попадается ни одной точки (поскольку всякая точка, которая берется мысленно посередине, тоже должна была бы описывать круг). И если все они занимают одно и то же место, то получается один круг, и потому наименьшему кругу, расположенному у центра, будет равен больший круг, самый внешний и охватывающий все другие. Действительно, если самый внешний круг, находящийся у самой окружности, занимает большее расстояние, а самый внутренний круг, находящийся у центра, занимает малое расстояние, но притом все круги занимают одно и то же место, то круг, занимающий большую плоскость, окажется равным тому, который занимает наименьшую часть. Однако это бессмысленно. Следовательно, круги непрерывно [следуют] не так, чтобы занимать одно и то же место. Если же они оказываются один возле другого так, что между ними не попадается ни одной точки, лишенной частей, то они заполнят [всю] ширину от центра до периферии. Если же они [ее] заполнят, то во всяком случае [каждая из них] занимает какую-то ширину. Но ведь эти круги - линии. Следовательно, линии обладают какой-то шириной и не являются 'без ширины'.
Отправляясь от того же самого принципа, мы можем присоединить аргументацию того же рода, что и предложенная выше, а именно: когда они говорят, что если описывающая круг прямая описывает круг при помощи себя самой, то мы тоже поставим вопрос и скажем [так]. Если описывающая круг прямая способпа описать круг при помощи себя самой, то линия не есть длина без ширины. Но описывающая круг прямая описывает круг при помощи себя самой, как они утверждают. Следовательно, линия не есть длина без ширины. Как мы покажем, это вполне следует из их учения. Именно, когда проходящая из центра прямая вращается и описывает круг при помощи себя самой, то прямая линия проходит или по всем частям плоскости, заключенной внутри данной окружности, или не по всем,, но по не
157
которым. И если она проходит по некоторым, то она не описывает круга, потому что по одним частям она проходит, а по другим нет. Если же она проходит по всем, то она отмеривает всю ширину окружности, а, отмеривая ширину, она сама будет обладать шириной, поскольку то, что способно отмеривать ширину, должно само обладать шириной, при помощи которой она отмеривала бы. Следовательно, прямая линия, описывающая круг, отмеривает всю ширину, и линия не есть длина без ширины.
То же самое станет яснее на том положении геометров, что если будет двигаться боковая сторона четырехугольника, то она отмерит плоскость в виде параллелограмма. Действительно, если движущаяся боковая сторона четырехугольника есть длина без ширины, то она не сможет при помощи себя самой отмерить часть плоскости, на которой находится четырехугольник, в виде параллелограмма. Ведь то, что способно отмерить ширину, само обладает шириной. А если она отмеривает, то она обязательно обладает шириной. Поэтому опять-таки или данная теорема у геометров неправильна, или не существует никакой длины без ширины, которую можно было бы мыслить.
[6. ЛИНИЯ, ПОВЕРХНОСТЬ И ТЕЛО]
Далее, они утверждают, что цилиндр касается плоскости по прямой линии, и, когда катится, он вследствие постепенного наложения все новых и новых прямых отмеривает плоскость [17]. Однако если цилиндр касается плоскости по прямой и, когда катится, путем наложения все новых и новых прямых отмеривает плоскость, то плоскость обязательно состоит из прямых, и также поверхность цилиндра наполняется прямыми. Вследствие же этого, поскольку плоскость, а также и поверхность цилиндра обладают шириной и не являются без ширины, а то, что способно образовать ширину, должно и само обладать шириной, то ясен вывод, что и прямые линии, способные заполнить ширину, по необходимости сами обладают шириной, так что не существует никакой 'длины без ширины', а тем самым и линии.
153
Однако если даже мы согласимся, что линия есть длина без ширины, то из этого последует еще большая апория. Действительно, как точка в своем движении создает линию [18], так, по их мнению, и линия в своем движении образует поверхность, которая, по их словам, есть граница тела, поскольку она обладает двумя измерениями - длиной и шириной. Поэтому если поверхность есть граница тела, то тело обязательно обладает границей. А если так, то, когда два тела присоединяются одно к другому, либо их границы касаются границ, либо ограниченное в них касается ограниченного, либо и ограниченное касается ограниченного, и также границы - границ. Так [бывает], например, с амфорой, если в качестве границы мы представим себе внешний черепок, а в виде ограниченного - содержащееся в нем вино. Именно когда две амфоры приставлены одна к другой, то или черепок будет касаться черепка, или вино вина или и черепок - черепка, и вино - вина. Но если границы касаются границ, то одно ограниченное не будет касаться другого, т.е. [не будут взаимно касаться] тела. А это абсурд. Если же одно ограниченное будет касаться другого, т.е. [будут взаимно касаться] тела, а границы их взаимно не будут касаться, то тела окажутся вне собственных границ. Если же и границы касаются границ, и одно ограниченное - другого, то мы [только] объединим эти апории: поскольку взаимно соприкасаются границы, одно ограниченное не будет касаться другого, а поскольку [будет соприкасаться] одно ограниченное с другим, тела окажутся вне собственных границ (раз границей является [здесь] поверхность, а ограниченным - тело).
Далее, границы или суть тела, или бестелесны. Но если они тела, то ложным окажется утверждение геометров, что поверхность не имеет глубины. Ведь если она есть тело, то по необходимости она должна будет обладать и глубиной, поскольку всякое тело должно обладать глубиной. Затем, [границы] не будут и касаться чего-нибудь, но все окажется беспредельным по величине. Ведь если они есть тело, то, поскольку всякое тело обладает границей, и эта последняя, будучи телом, также должна будет обладать границей, и эта последняя - точно так же, и так - до бесконечности. Если же граница бестелесна, то, поскольку бестелесное не может ни касаться чего-нибудь, ни быть предметом касания [19], границы тоже не будут
