[что-нибудь другое]. Следовательно, остается иметь в виду то, что они называют г точкой. А это и само относится к области апории.
163
Действительно, если точка, во всяком случае, везде является лишенной всяких промежутков, то угол не может быть подвергнут делению. Кроме того, угол не может быть больше или меньше, поскольку в том, что не обладает никаким размером, не может существовать и никакого различия по величине. И иначе: если точка попадает между прямыми, то она разделяет прямые; а то, что производит разделение, не может быть лишенным промежутков.
Но нет, некоторые из них имеют еще обыкновение называть углом 'первое расстояние при наклонении [прямых]'. Против них
Простое слово истины имеется [27].
А именно: указанное расстояние или не содержит в себе частей, или оно делимо. Но если оно не содержит в себе частей, то у них последуют выше высказанные апории. Если же оно делимо, то ни одно из разделенных не будет первым, поскольку, какую бы часть ни предположить первой, всегда можно найти другую, еще более первую вследствие признаваемого ими же самими деления [всего] существующего до бесконечности.
Я уж не говорю, что подобное определение углов противоречит их другому научному пониманию у геометров. Именно, производя разделение, они утверждают, что из углов один является прямым, другой - тупым, третий острым, причем среди тупых углов одни являются более тупыми, чем другие, и то же самое среди острых углов. Но если мы скажем, что углом является наименьшее расстояние при наклонении [прямых], то подобное различие углов не сохранится, поскольку они и превосходят друг друга и друг другом превосходятся. Или же, если они сохраняются, то уничтожится сам угол, поскольку он [в данном случае] не обладает устойчивой мерой, при помощи которой его можно было бы распознать.
Итак, вот что нужно сказать против них по поводу прямой линии и угла. Когда же с целью определения круга они говорят [28]: 'круг есть плоская фигура, ограниченная одной линией, когда проведенные до нее от центра прямые равны между собой', - то это пустой разговор, поскольку если устранены и точка, и линия, и прямая, и также плоскость и угол, то не может быть мыслим и круг.
164
[9. ОПЕРАЦИИ С ПРЯМОЙ]
Однако чтобы не показаться какими-то софистами и не тратить все содержание возражений на одни только геометрические принципы, давайте перейдем к дальнейшему и, как мы обещали раньше [29], рассмотрим теоремы, следующие у них за принципами.
Например, говоря о разделении данной линии на две части [30], они говорят о разделении или той линии, которая дана на доске, или той, которая мыслится на основании перехода от этой. Однако они не могут говорить о разделении линии, данной на доске, поскольку эта линия является имеющей чувственную длину и ширину, а та прямая линия, о которой говорят они, есть длина без ширины, так что, не будучи, по их мнению, линией на доске, она не может быть и разделена на две части как линия. Но не может быть разделена и линия, которая мыслится по переходу от этой [линии на доске]. Действительно, пусть, например, будет дана линия, состоящая из девяти точек, причем от каждого конца будет считаться четыре и четыре точки, а одна из них будет находиться между двумя четверками [точек] [31]. Если при этих условиях целая линия делится на две [равные] части, то делящее попадает либо между этой пятой точкой и другой четверкой точек, либо на самую эту пятую точку так, что разделит ее [пополам]. Однако было бы неразумным считать, что делящее проходит между упомянутой пятой точкой и одной из четверок [точек], поскольку результаты деления оказались бы неравными и один из [отрезков] состоял бы из четырех точек, а другой из пяти. Но было бы еще гораздо неразумнее этого думать, что сама точка делится пополам, потому что [тогда] у них уже не оставалось бы точки, лишенной всякого размера, раз она делится пополам делящим.
То же самое рассуждение [получается] и тогда, когда они говорят о делении круга на равные части [32]. Действительно, если круг делится на равные части, то, поскольку он обязательно содержит посередине себя центр, который как раз является точкой, этот центр должен быть приписан к одной из половин [круга] или должен будет сам делиться пополам. Однако отнесение центра круга к той или иной из его половин делает деление пополам неравным; а если и сам он делится пополам, то это противоречит тому, что точка лишена промежутков и частей.
165
Далее, делящее линию или есть тело, или оно бестелесно. Но оно не может быть ни телом, поскольку [тело] не могло бы разделить нечто лишенное частей и бестелесное, с чем невозможно столкнуться, ни бестелесным. Ведь если это бестелесное есть опять-таки точка, то оно не может производить деления, поскольку не имеет частей и делит опять-таки не имеющее частей; если же оно есть линия, то в свою очередь, раз оно должно делить своими собственными границами, а ее границы лишены частей, оно опять не производит никакого деления.
И иначе: та граница, которая производит деление, делит линию на две части, или попадая в середину между двумя точками, или оказываясь в середине самой точки. Однако невозможно, чтобы она оказывалась в середине точки, потому что, как мы сказали выше [33], [в данном случае] было бы необходимым, чтобы точка вообще оказывалась делимой и уже не лишенной размеров. Но еще неразумнее было бы думать, что она оказывается посередине двух точек. Во-первых, никакая граница не может падать в середине того, что непрерывно. Во-вторых, если даже допустить возможность этого, то она должна была бы раздвинуть то, посередине чего она поместилась бы, если оно действительно непрерывно. Однако оно не способно двигаться. Следовательно, и рассуждение относительно того, что производит деление, тоже ведет к апории.
Впрочем, пусть даже мы согласимся с ними в том, что отнятие производится от чувственных прямых. Все равно и в этом случае у них ничего не получится. Действительно, отнятие может происходить или от всей прямой, или от ее части; и то, что отнимается, будет отнимаемым или в качестве равного от равного, или в качестве неравного от неравного, или наоборот. Но, как мы установили в рассуждении против грамматиков [34] и против физиков [35], ничто из этого не может быть проведено беспрепятственно. Следовательно, для геометров невозможно что-нибудь отнимать от прямой или ее делить.
КНИГА IV
ПРОТИВ АРИФМЕТИКОВ
Так как из количества одно содержится в области непрерывных тел (оно, как известно, называется величиной, и им занимается главным образом геометрия), другое же содержится в области тел прерывных - это есть число, и относительно него возникает арифметика, - то, переходя от геометрических принципов и теорем к дальнейшему, мы подвергнем рассмотрению и то, что относится к числу. Ведь с устранением этого последнего не сможет возникнуть и относящаяся к нему наука.
[1. ПИФАГОРЕЙСКОЕ УЧЕНИЕ О ЕДИНИЦЕ]
Вообще ученые-пифагорейцы придают большое значение числу, поскольку в соответствии с этим последним строится природа целого. Поэтому они и восклицали всегда: 'Числу же все подобно...' [1], - употребляя клятву не только числом, но и Пифагором (который объяснил его им) как богом вследствие заключающейся в арифметике силы. Они говорили:
Тем поклянемся, кто нашей душе передал четверицу,
Вечно текущей природы имущую корень неточный [2].
Четверицей у них называется число десять, которое з является суммой первых четырех чисел, потому что один да два, да три, да четыре есть десять. Это число является самым совершенным, потому что, приходя к нему, мы снова возвращаемся к единице и начинаем счет сначала. 'Вечно текущей природы имущей корень неточный' они назвали ее потому, что, по их мнению, в ней залегает смысл совокупности всего, как, например, и тела, и души. В виде примера достаточно будет указать на последующее.
167
Монада, [единица], является некоторым принципом, образующим составление прочих чисел. Двоица же образует длину. В самом деле, как на геометрических принципах мы показали [3], что сначала существует некая точка, а затем, после нее, линия, которая есть длина без ширины, точно так же теперь единица обладает смыслом точки, двоица же - смыслом линии и длины: ведь ее мысленное построение
