газа. Сначала рассмотрим упрощенный случай: движется одна большая молекула, имеющая вид шарика с поперечным сечением s , а все остальные можно считать неподвижными точками. Пусть при этом взаимодействия происходят всякий раз, когда на пути большой молекулы. встречается какая-нибудь другая. Тогда она может двигаться без столкновения только до тех пор, пока не пройдет свободного объема, приходящегося на одну частицу. Если концентрация молекул п частиц/см3, то на каждую из них в среднем приходится объем пространства см3. Частица с поперечным сечением s, двигаясь со скоростью v*, пройдет такой объем за время
(7.17)
Это дает средний промежуток времени между двумя последовательными столкновениями. Обратная величина показывает, сколько столкновений происходит в среднем за 1 сек, и называется частотой столкновений
N = nv*s .(7.18)
Путь, проходимый частицей между последовательными столкновениями, называется длиной свободного пробега, которая, очевидно, равна
(7.19)
Так как остальные частицы в среднем тоже имеют поперечники s , а площадь пропорциональна квадрату радиуса, то вместо s в выведенные формулы надо подставить величину в 4 раза большую. Кроме того, учет движений всех частиц, если они одинаковы, дает увеличение еще в раз. Однако мы не будем вводить этих уточнений в полученные выше формулы, так как гораздо существеннее, что для микрочастиц (атомы, ионы, свободные электроны) представление о геометрических размерах вообще теряет смысл. Поэтому формулы (7.17)-(7.19) имеют смысл только в том случае, если под величиной а понимать лишь некоторый параметр, характеризующий вероятность того, что произойдет сближение рассматриваемых частиц, которое завершится данным явлением. Таким явлением может, например, быть упругое столкновение с простым перераспределением кинетической энергии, или столкновение, при котором определенным образом произойдет изменение внутренней энергии молекулы или атома и т.д. Как мы видим, этот параметр имеет размерность площади и потому называется эффективным сечением. Он показывает, что в данном процессе рассматриваемая частица ведет себя так же, как если бы она имела геометрический поперечник s, а частицы, с которыми она взаимодействует, - были бы неподвижными точками. Так, например, для столкновений молекул в воздухе при обычных условиях эффективное сечение около 10-14 см2. Свободные электроны в газе при высоких температурах, сталкиваясь с нейтральными атомами, могут отрывать от них электроны (ионизовать). Эффективное сечение этого процесса при температуре 10 000° для водорода порядка 10-16 см2. Встретив ионизованный атом, свободный электрон может быть захвачен им и вернуться на прежнее место (рекомбинация). Для этого процесса эффективное сечение при тех же значениях температуры порядка 10-21 см2. Чтобы пользоваться формулами (7.17)-(7.19), надо предварительно по формуле (7.14) вычислить наиболее вероятную скорость v*, которую имеет рассматриваемая частица при данной температуре. Молекулы воздуха движутся в среднем со скоростью 400 м/сек, а водородные атомы при температуре 10 000 °K - со скоростью около 10 км/сек. Средняя энергия частиц одинакова. Поэтому более легкие свободные электроны движутся в 37 раз быстрее атомов водорода. При нормальных условиях в воздухе столкновения очень часты (около десяти миллиардов в секунду), а длина свободного пробега составляет сотые доли микрона. Однако в некоторых космических условиях, например, во внешних слоях атмосфер звезд, длина свободного пробега значительно больше и может достигать сантиметров, а в туманностях газ настолько разрежен, что столкновения частиц могут происходить раз в десятки и сотни лет. За это время частицы успевают совершить огромные пробеги в десятки астрономических единиц.
§105. Ослабление света при прохождении сквозь вещество
Поглощающие свойства среды принято характеризовать оптической толщиной t, под которой понимается натуральный логарифм отношения светового потока до прохождения через рассматриваемый слой и после прохождения сквозь него:
(7.20)
(Десятичный логарифм того же отношения, т.е. называют оптической плотностью.) Из этого определения следует, что после прохождения слоя с оптической толщиной t световой поток, а также интенсивность I уменьшаются в et раз, т.е.
F = F0e-t(7.21)
и
I = I0e-t(7.22)
где е = 2,718...- основание натуральных логарифмов. В частности, если измерять ослабление света в звездных величинах, то, сравнивая выражения (7.8) и (7.20), получаем ослабление света, выраженное в звездных величинах:
Dm = 1,08t.(7.23)
Оптическая толщина нескольких параллельных слоев равна сумме их оптических толщин. Действительно, если имеется, например, два параллельных слоя с оптическими толщинами t 1 и t 2, причем первый из потока F0 пропускает F1 , а второй из F1 - его часть F2 , то согласно определению
и
В результате последовательного прохождения сквозь оба слоя поток F0 уменьшается до величины F2 , так что общая оптическая толщина обоих слоев равна
(7.24)
То же самое легко доказать и для нескольких слоев. Как частный случай, отсюда следует, что для однородной среды, которую, очевидно, можно разбить на множество одинаковых слоев, оптическая толщина пропорциональна геометрической толщине. Как видно из формулы (7.22), при прохождении сквозь слой с оптической толщиной t = 1 свет ослабляется в е = 2,718 раз. При t , заметно большем 1, слой становится сильно непрозрачным (оптически толстым). Так, например, слой с t = 3 пропускает лишь 5% падающего на него света. Слой, оптическая толщина которого t < 1, называется оптически тонким. Разлагая в ряд правую часть формулы (7.22), получаем для малых t
I = I0(1 - t ),(7.25)
откуда следует, что оптическая толщина тонкого слоя равна относительному уменьшению интенсивности проходящего сквозь него излучения, т.е.
(7.26)
С другой стороны, для поглощенной энергии пропорциональна массе q, приходящейся на 1 см2 поверхности поглощающего слоя. Если оптической толщине t соответствует геометрическая l, то
(7.27)
где k - коэффициент поглощения, рассчитанный на 1 г вещества, r - плотность. Коэффициент поглощения можно рассматривать как оптическую толщину такого слоя вещества, на каждый квадратный сантиметр которого приходится масса в 1 г. Действительно,
(7.28)
Заметим, что выражение
t = k r l(7.29)
часто рассматривают как определение оптической толщины. Из формулы (7.20) следует, что оптическая толщина является величиной безразмерной. Следовательно, коэффициент поглощения k в формуле (7.29) имеет размерность cм2/г. Чтобы выяснить физический смысл этого результата, примем за единицу массы массу одной частицы (или отдельного атома) поглощающего вещества. Тогда масса q численно равна количеству атомов в столбике вещества сечением в 1 см2 и длиной l. Если обозначить через п см -2 число частиц в 1 см3 (концентрацию), то Q = п× l и
t = kа п1,(7.30)
где kа - коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом. Как видно из этой формулы, коэффициент поглощения, рассчитанный на одну частицу, имеет размерность площади. Если бы поглощающее действие атома можно было рассматривать как геометрическое экранирование проходящего излучения, то kа было бы площадью экранчика, действие которого эквивалентно поглощению излучения одной частицей. Возьмем теперь слой вещества такой толщины l, чтобы t = 1. Тогда площадь всех “экранчиков”, проектирующихся на каждый квадратный сантиметр поверхности
