Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

е. n = 0; ±1; ±2; ±3; ... .

Решения уравнения sin x = а часто удобно записывать в виде двух серий корней:

x = 2n? + ?rсsin а,    x = ? (2n + 1) ? arcsin а.

Хотя приведенные формулы для решений уравнений sin x = а и cos x = а верны при всех значениях а, удовлетворяющих указанным справа ограничениям, при некоторых а эти формулы дают неудобный ответ.

Так, например, если к уравнению sin x = 1 применить общую формулу, то получим

x = n? + (?1) ^n ?/₂.

При n = 2k получим x = 2k? + ^?/₂, а при n = 2k + 1 получим x = 2k? + ? ? ^?/₂ = 2k? + ^?/₂. При четном и нечетном n мы пришли к одинаковому ответу. Но этот же ответ можно получить гораздо проще, если не пользоваться общей формулой. Достаточно заметить, что sin x = 1 тогда и только тогда, когда подвижный радиус вертикален и направлен вверх.

Поэтому целесообразно помнить решения уравнений:

sin x = 0, x = n?;      sin x = 1, x = ^?/₂ + 2n?;     sin x = ?1, x = ? ^?/₂ + 2n?;

cos x = 0, x = ^?/₂ + n?;      cos x = 1, x = 2n?;     cos x = ?1, x = (2n + 1)?;

tg x = 0, x = n?;      ctg x = 0, x = ^?/₂ + n?.

При решении уравнений удобно пользоваться теоремами: уравнение cos x = cos у равносильно совокупности уравнений x + у = 2k?, x ? у = 2l?; уравнение sin x = sin у равносильно совокупности уравнений x + у = (2k + 1)?, x ? у = 2l?. Обратите внимание на то обстоятельство, что в разных уравнениях, входящих в совокупность, вообще говоря, используют разные буквы для обозначения произвольного целого числа. Это следует из того, что уравнения для x + у и для x ? у решаются независимо одно от другого. Переход от уравнения tg x = tg у к уравнению x ? у = ?k может привести к приобретению посторонних решений, если tg x и tg у перестают существовать.

Однородные уравнения. Уравнение вида

а₀ sin^k x + а₁ sin^{k ? 1} x cos x + ...

... + а_{k ? 1} sin x cos^{k ? 1} x + а_k cos^k x = 0     (1)

называется однородным, так как все слагаемые его левой части имеют одинаковую степень относительно sin x и cos x.

При ?₀ ? 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых cos x = 0. В самом деле, полагая cos x = 0, мы получаем из уравнения (1): а₀ sin^k x = 0, откуда sin^k x = 0, так как а₀ ? 0 по условию. Но это невозможно, поскольку нет таких значений x, при которых sin x и cos x одновременно обращаются в нуль.

Аналогично при а_к ? 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых sin x = 0.

Наметим пути решения уравнения (1). Рассмотрим два случая.

Случай 1. a₀ ? 0 и а_k ? 0. В этом случае, разделив уравнение (1) на cos^k x, мы получим (поскольку cos x ? 0) равносильное ему алгебраическое уравнение

а₀у^к + а₁у^{k ? 1} + ... + а_{k ? 1}у + а_k = 0       (2)

относительно у = tg x.

Можно также делить уравнение (1) на sin^k x. Тогда (поскольку sin x ? 0) мы получим равносильное уравнению (1) алгебраическое уравнение

а₀ + а₁z + ... + а_{k ? 1}z^{k ? 1} + а_kz^k = 0      (3)

относительно z = ctg x.

Пример 1. Решить уравнение

sin? x ? 2 sin? x cos x ? sin x cos? x + 2 cos? x = 0.     (4)

Разделив его на cos? x, получим алгебраическое уравнение

у? ? 2у? ? у + 2 = 0,

где у = tg x. Последнее уравнение легко решается путем разложения его левой части на множители, и мы находим корни:

у₁ = ?1, у₂ = 1, у₃ = 2.

Теперь остается решить совокупность уравнений

tg x = ?1, tg x = 1, tg x =