Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

13.51. Решите уравнение

Глава 14 Тригонометрические неравенства

Решите неравенства:

14.1. |sin x| > |cos x|.

14.2. 1 ? sin x + cos x < 0.

14.3. sin x ? З cos x < 0.

14.4. 2 cos 2х + sin 2х > tg x.

14.5. cos x tg 2х ? 0.

14.6. 6 + cos 2х + 13 cos x ? |5 ? 2 cos 2х ? 6 sin? x ? З cos x|.

14.7. Найдите решения неравенства

sin 2х > v2 sin? x + (2 ? v2) cos? x,

лежащие в интервале (0, 2?).

14.8. При каких значениях ?, 0 ? ? ? ?, уравнение

2х? ? 2(2 cos ? ? 1)x + 2 cos? ? ? 5 cos ? + 2 = 0 имеет различные действительные корни? Исследуйте знаки корней.

Решите неравенства:

14.9.

14.10.

14.11.

14.12. tg x tg 3x < ?1.

14.13.

14.14. Найдите все значения x из интервала 0 < x < ?, удовлетворяющие неравенству

14.15. Докажите, что при любом а имеет место неравенство

4 sin 3? + 5 ? 4 cos 2? + 5 sin ?.

14.16. Решите неравенство

a? sin? x ? sin? 3x,    а > 0.

14.17. При каких значениях x и у выражение

(2 cos t + ? cos x cos у ) cos x cos у + 1 + cos x ? cos у + cos 2t

положительно при всех значениях t? Укажите, где на координатной плоскости расположены точки (x, у), удовлетворяющие этому условию.

Глава 15 Трансцендентные неравенства

Решите неравенства:

15.1. (log_{sin x} 2)? < log_{sin x} (4 sin? x).

15.2.

15.3. Найдите решения неравенства

log₂ cos x > log₂ tg x,

удовлетворяющие условию 0 ? x ? ?.

Решите неравенства:

15.4. 4 log₁₆ cos 2х + 2 log₄ sin x + log₂ cos x + 3 < 0.

15.5. log_{|cos x + v3 sin x|} ? > 0, если 0 ? x ? 2?.

15.6. sin |lg x| + cos |lg x| > ? ¹/_v2.

15.7.

15.8. arctg vx > arccos (1 ? x).

15.9. (4х ? x? ? 3) log₂ (cos? ?х + 1) ? 1.

15.10.

Глава 16 Трансцендентные уравнения

16.1. Докажите, что уравнение

2 sin? ^x/₂ sin? ^x/₆ = ¹/_x? + x?

не имеет корней.

Решите уравнения:

16.2.

16.3. (tg x)^{sin x} = (ctg x)^{cos x}.

16.4. sin (2^{х ? 1} + 2^{х ? 2}) cos (2^{х ? 1} + 2^{х ? 2}) = ?.

16.5. lg sin x + lg sin 5х = lg sec 4х.

16.6. lg? (sin x + 4) + 2 lg (sin x + 4) ? ⁵/₄ = 0.

16.7. log_{sin x} (sin x ? ? cos x) = 3.