Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

промежуток времени. Это означает, что речь идет о работе «вообще», о том, что каждый выполнял какую- то часть этой работы, а потому всю работу следует принять за единицу. Ту же мысль подтверждает и условие, в силу которого третий рабочий приступил к работе, когда ¹/₆ работы (обратите внимание: ¹/₆ всей работы, а не 45 или 27 деталей) была уже выполнена.

Из условия следует, что рабочие работают по-разному, другими словами, они изготовляют разное число деталей за одно и то же время. Поэтому нужно ввести в рассмотрение производительность каждого из них. Однако через x, у и z мы обозначим не число деталей, изготовляемых в час первым, вторым и третьим рабочими соответственно, а ту часть всей работы, которую каждый из них выполняет за это время.

После всего сказанного должно быть очевидным, что мы легко перепишем условие задачи в виде системы уравнений, если введем в рассмотрение еще три неизвестные: t₁, t₂, t₃ — время, затраченное соответственно первым, вторым и третьим рабочими. Так как каждый из них сделал за это время треть всей работы, то

t₁x = t₂у = t₃z = ?. (1)

Мы получили три уравнения (их можно было написать в виде t₁x = ?, t₂у = ?, t₃z = ?. K ним нередко добавляют четвертое:

t₁x + t₂у + t₂z = 1,

которое должно отражать то обстоятельство, что в итоге вся работа была выполнена. Однако это уравнение не содержит никакой самостоятельной информации: оно является следствием первых трех и получается в результате их сложения. Поэтому последнее уравнение, хотя и верно составлено, но бесполезно для решения задачи.

Так как первый и второй рабочие вместе выполняют всю работу за ¹/_{x + y} ч, а третьему на это потребуется ¹/_z ч, то еще одно условие задачи можно записать так:

¹/_{x + y}  + 9 = ¹/_z.     (2)

Составим теперь уравнение, отражающее тот факт, что третий рабочий приступил к работе, когда ее ¹/₆ была выполнена. Другими словами, когда первый проработал t₁ ? t₃ ч, а второй t₂ ? t₃ ч, они сделали ¹/₆ всей работы:

x(t₁ ? t₃) + у (t₂ ? t₃) = ¹/₆.    (3)

Добавляя к этим пяти уравнениям шестое:

t₂ ? t₃ = 2,      (4)

мы можем приступить к решению полученной системы уравнений.

Решая систему уравнений, как правило, следует держать в поле зрения два обстоятельства. Во- первых, систему уравнений нужно воспринимать в целом, так, как вы воспринимали бы ее, решая вне связи с задачей. Это позволит найти более рациональный ключ к ее решению. Во-вторых, нельзя упустить из виду те неизвестные (или комбинации неизвестных), которые позволят ответить на вопрос задачи. Благодаря этому можно обойтись без излишних вычислений.

В нашем примере второе обстоятельство должно побудить нас использовать уравнение (4) для упрощения уравнения (3), в результате чего из (3) будет исключено неизвестное t₂, которое нас не интересует. Однако после замены t₂ ? t₃ на 2 уравнение (3) потеряет симметрию относительно t₁x и t₂у, что затруднит использование уравнений (1). Если же в уравнении (3) раскрыть скобки и вспомнить, что xt₁ = ? и уt₂ = ?, то получим уравнение

t₃(x + у) = ?.

С его помощью можно выразить x + у через t₃, а из уравнения zt₃ = ? можно выразить через t₃ и неизвестное z. Подставляя эти выражения в (2), получим

2t₃ + 9 = 3t₃,

откуда

t₃ = 9.

Дальнейшее решение системы не представляет труда. Находим последовательно: t₂ = 11, z = ¹/₂₇, у = ¹/₃₃. Из уравнения (2) определяем x = ⁵/₁₉₈ и t₁ = ¹/_3x = ⁶⁶/₅. Итак, первый рабочий работал 13 ч 12 мин.

Эту же задачу можно было бы решить с помощью меньшего числа неизвестных, если ввести в рассмотрение, помимо величин x, у и z, имеющих прежний смысл, величину t, обозначающую время, в течение которого рабочие работали вместе, т. е. время работы третьего рабочего. Это привело бы нас к системе:

t(x + у + z) = ⁵/₆     (1?)

(за время t рабочие сделали вместе ⁵/₆  всей работы),

tz = (t + 2)у = ?     (2?)

(за время t третий рабочий сделал треть всей работы, а второму на это потребовалось на 2 ч больше),

¹/_{x + y} + 9 = ¹/_z     (3?)

(первый и второй рабочие выполняют всю работу на 9 ч быстрее, чем третий, работая один).

Поскольку tz = ?, то из (1?) найдем 

x + y = ¹/_2t. 

Вместе с z = ¹/_3t подставим в (3?). Получим

t = 9.

Как и прежде, найдем последовательно z, у и x. На вопрос задачи можно ответить, вспомнив, что первый рабочий работал столько, чтобы успеть сделать ?