Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

16.8. log_{8 cos? x} sin x = ?.

16.9. Найдите положительные решения уравнения

tg [ 5?(?)^x] = 1.

16.10. Решите уравнение

lg? cos x + 2 lg cos x + m? + 2m ? 3 = 0.

16.11. Для каждого действительного числа а решите уравнение

lg? sin x ? 2а lg sin x ? а? + 2 = 0.

16.12. Решите систему уравнений

16.13. Решите уравнение

4^{sin? ?x} + 4^{cos? ?x} = ?8x? + 12|x| ? ?.

16.14. Решите уравнение

Глава 17 Функции и их свойства

17.1. Решите неравенство

4f(x) + g (x) ? 0,

если функции f(x) и g (x) удовлетворяют системе

17.2. Сколько различных действительных корней имеет уравнение f(f(x)) = 0, где f(x) = x? ? 6x? + 9x?

17.3. Найдите все целые x и у, удовлетворяющие системе

17.4. Решите систему уравнений

17.5. Дана функция f(x) = 6х? + 2х + 6. Известно, что ее график касается графика первообразной F(x) этой функции в точке, абсцисса которой превосходит число 0,7. Найдите все значения x, для которых

17.6. Изобразите на плоскости (x, у) множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству

log_{(x ? у)}(x + у) ? 1.

17.7. Найдите площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств

17.8. На координатной плоскости заданы точки A(0; 2), B(1; 7), С(10; 7) и D(7; 1). Найдите площадь пятиугольника ABCDE, где E — точка пересечения прямых AC и BD.

17.9. Фигура задана на координатной плоскости системой

Сколько интервалов на прямой у = 2 ? x образует ортогональная проекция данной фигуры на эту прямую?

17.10. При каких значениях параметра а уравнение

x? ? (а + 3)x + 2а + 7 = 0

имеет 2 различных целых корня?

17.11. В зависимости от а определите число действительных корней уравнения

х⁴ ? (1 ? 2а) x? + а? ? 1 = 0.

17.12. При каких значениях параметра а уравнение

2(2а ? 1) sin 4х ? (а + 3) cos 8х + 3а = 1

имеет ровно восемь решений на отрезке [??, ?]?

17.13. На плоскости (x, у) укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых семейства

у = x? + 2(а ? 1) x + 2(а ? 1)? ? 1,

где а — действительное число.

Глава 18 Задачи на составление уравнений

При решении задач на составление уравнений основную трудность представляет перевод условия задачи с обычного языка на язык математических символов и уравнений. Наиболее ответственный этап этого процесса — выбор неизвестных. Нельзя шаблонно выбирать в качестве неизвестных величины, стоящие в вопросе задачи. Основное требование, которому должны отвечать выбранные неизвестные, состоит в том, чтобы с их помощью можно было прозрачно записать сформулированные в условии задачи соотношения.

Разберем в качестве примера следующую задачу.

Пример 1. Трое рабочих должны изготовить некоторое число деталей. Сначала к работе приступил первый, а через некоторое

время к нему присоединился второй. Когда ¹/₆ работы была выполнена, к работе приступил третий. Работу они закончили одновременно. Сколько времени работал первый рабочий, если каждый изготовил одинаковое число деталей, причем третий работал на 2 ч меньше второго? Известно, что первый и второй, работая вместе, могут изготовить требуемое число деталей на 9 ч раньше, чем третий, если бы он работал один.

Известно, что каждый рабочий изготовил одинаковое число деталей, т. е. выполнил треть всей работы. С другой стороны, нет никаких сведений о числе деталей, изготовленных кем-либо в какой-либо