Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

2.

Мы получим следующие корни уравнения (1):

x = n? ± ^?/₄ , x = n? + arctg 2.

Случай 2. a₀ = 0, или a_k = 0, или а₀ = a_k = 0. Пусть, например, a₀ = a_k = 0, а a₁ ? 0 и a_{k ? 1} ? 0. Тогда уравнение (1) примет вид

a₁ sin^{k ? 1} x cos x + a₂ sin^{k ? 2} x cos? x + ...

... + a_{k ? 2} sin? x cos^{k ? 2} x + a_{k ? 1} sin x cos^{k ? 1} x = 0.      (5)

В левой части уравнения выносим за скобки все, что возможно (в случае уравнения (5) мы можем вынести за скобки произведение sin x cos x). В результате получим уравнение

sin x cos x (a₁ sin^{k ? 1} x + a₂ sin^{k ? 2} x cos x + ...

... + a_{k ? 2} sin x cos^{k ? 2} x + a_{k ? 1} cos^{k ? 1} x) = 0,

распадающееся на совокупность уравнений

sin 2х = 0,

a₁ sin^{k ? 1} x + a₂ sin^{k ? 2} x cos x + ...

... + a_{k ? 2} sin x cos^{k ? 2} x + a_{k ? 1} cos^{k ? 1} x = 0,

первое из которых решается просто (см. с. 77), а пути решения второго уравнения показаны в случае 1).

Пример 2. Решить уравнение

sin⁴ x cos x ? 2 sin? x cos? x ? sin? x cos? x + 2 sin x cos⁴ x = 0.

Левую часть уравнения разлагаем на множители:

sin x cos x (sin? x ? 2 sin? x cos x ? sin x cos? x + 2 cos? x) = 0. Получаем совокупность уравнений

sin x = 0, cos x = 0,

sin? x ? 2 sin? x cos x ? sin x cos? x + 2 cos? x = 0.

Решения первых двух уравнений даны на с. 77. Третье уравнение подробно рассмотрено в примере 1.

Системы тригонометрических уравнений. Предположим, что, преобразовывая систему тригонометрических уравнений, мы пришли к системе

Если переписать эту систему в виде

то, складывая и вычитая полученные уравнения, придем к выводу, что

Решили ли мы систему? Оказывается, нет. Решить систему — значит, найти все ее решения, а из поля нашего зрения выпало такое очевидное решение как x = ^3?/₂, у = ^?/₄ (ни при каком целом n из выражения ^?/₄ + ^3n?/₂ нельзя получить ^3?/₄).

В чем же ошибка? Ошибка очень проста: переходя от первоначальной системы к выражениям относительно x + у и x ? у, мы должны были сохранить их «независимость», которая присутствовала в исходной системе. Вместо этого мы «связали» их введением общего целочисленного переменного n.

Правильным было бы такое решение:

откуда

x = ^?/₄ + (2т + n), у = ? ^?/₄ ? ^?/₂ (2т ? n).

Прежде чем приступать к решению задач, ознакомьтесь с введением к главе 9.

Решите уравнения:

13.1. 1 + sin 2x + 2v2 cos 3x sin (x + ^?/₄) = 2 sin x + 2 cos 3x + cos 2x.

13.2. .

13.3. .

13.4. tg 2x tg 7x = 1.

13.5.

13.6. 2 tg 3x ? 3 tg 2x = tg? 2x tg 3x.

13.7. sin? x + cos? x + ¹/_v2 sin 2x sin (x + ^?/₄) = cos x + sin 3x.

13.8. 4 tg 4x ? 4 tg 3x ? tg 2x = tg 2x tg 3x tg 4x.

13.9. Найдите решения уравнения

лежащие в интервале (0, 2?).