Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

10.8. Воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел.

10.9. Способ 1. Если обозначить три положительных слагаемых в левой части неравенства через u, v и w, то uvw = 1. Следовательно, среди чисел u, v и w есть одно большее единицы и одно меньшее единицы, например, u > 1, v < 1. Тогда (1 ? u)(v ? 1) > 0.

Способ 2. Если u, v и w — положительные числа, причем w — наименьшее, то u > w, v > w. Неравенство v > w можно умножить на положительное число u ? w и полученное неравенство разделить почленно на uw.

Способ 3. Если с < b < а, то можно записать, что b = с + d₁, а = b + d₂, где d₁ и d₂ — положительные числа. Подставьте в левую часть неравенства вместо а и b их выражения с + d₁ и b + d₂— соответственно.

10.10. Преобразования удобно начать с записи S по формуле Герона. Величину S нужно оценить так, чтобы прийти к выражению, симметричному относительно а, b и с. Поскольку из четырех множителей p, p ? а, p ? b, p ? с первый удовлетворяет этому требованию (2р = а + b + с), следует подвергнуть преобразованиям три других множителя. При этом полезно обратить внимание на то обстоятельство, что их сумма равна p:

p ? а + p ? b + p ? с = 3р ? (а + b + с) = p.

10.11. Если перемножить крайние и средние скобки, то получатся два трехчлена, отличающиеся только свободным членом. Это позволяет оценить левую часть, выделив квадрат трехчлена, свободный член которого находится посередине между свободными членами первого и второго трехчленов. (!)

10.12. Данные уравнения симметричны относительно у и z и не симметричны (второе) относительно x. Если воспользоваться вторым уравнением и из первого выразить у + z через x, то мы получим простую систему относительно у и z, где x выступает в роли свободного члена.

10.13. Данные уравнения можно переписать в виде

у + z = 5 ? x,    yz + x(z + y) = 8,

после чего можно получить уравнение, корнями которого будут у и z, а коэффициенты будут зависеть от x.

10.14. Нужно рассмотреть три случая, в зависимости от того, положителен, отрицателен или равен нулю дискриминант трехчлена. Затем обратить внимание на знак старшего коэффициента. (!)

10.15. Так как коэффициент при x? положителен, то ветви параболы направлены вверх. Рассмотреть возможное расположение корней параболы относительно отрезка 1 < x < 2.

10.16. Воспользоваться теоремой Виета и рассмотреть случаи, когда х₁ и x₂ одного знака и разных знаков.

10.17. Определить направление ветвей параболы и расположение ее корней относительно точек ?1 и +1, чтобы условия задачи выполнялись.

10.18. Если m ? 0 (случай m = 0 следует рассмотреть отдельно), то ветви параболы у = mx? ? 4x + 3m + 1 должны быть направлены вверх.

10.19. Рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть знаки абсолютной величины. Удобнее записать это неравенство как совокупность двух систем: в первой выражение, стоящее под знаком абсолютной величины, неотрицательно, а во второй системе оно отрицательно. (!)

10.20. Чтобы избавиться от знаков абсолютных величин, достаточно вспомнить о том, как они могли быть получены, например  = |x ? 3|. (!)

10.21. Чтобы упростить данное неравенство, его нужно умножить на 4x. Поскольку результат будет зависеть от знака x, необходимо рассмотреть два случая: x < 0 и x > 0. (!)

10.22. Если перенести 3 в левую часть неравенства и привести полученное выражение к общему знаменателю, то получим дробь, которая должна быть отрицательной.

10.23. Неравенство можно упростить, если перенести все в одну сторону, привести выражения, стоящие под радикалами, к общему знаменателю и вынести за скобки неотрицательный множитель

10.24. Удобно рассмотреть два случая: x > 0 и x < 0 (при x = 0 сразу видно, что неравенство не выполняется).

10.25. В неравенство входит сумма двух выражений: vx , — и их удвоенное произведение. Кроме этого, в правой части стоит член ?2x, который после перенесения его в левую часть можно использовать для образования суммы квадратов этих выражений.

10.26. Поскольку второе слагаемое всегда неотрицательно, целесообразно рассмотреть два случая: x > 0 и x ? 0.

10.27. Если привести обе части неравенства к основанию 2, то можно заметить симметрию показателей.

10.28. Если перенести все влево и сгруппировать члены, содержащие иррациональное выражение в показателе степени, то это поможет разложить левую часть на множители. (!)

10.29. Придется разобрать два случая: x > 0 и x ? 0. Когда x > 0, данное неравенство равносильно такому:

10.30. Чтобы сравнить показатели степени, необходимо выяснить, как основание