Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

расположено по отношению к единице.

10.31. Так как обязательно x > 0, то можно упростить неравенство, разделив обе его части на x.

10.32. При x > 0 получаем равносильное неравенство

Что будет при x < 0?

10.33. При возведении в квадрат нужно потребовать, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. (!)

10.34. Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным. Абсолютная величина выражения неотрицательна. Как видите, это не совсем одно и то же. (!)

10.35. При решении логарифмических неравенств удобнее иметь дело с одинаковыми основаниями логарифмов. Если вы выбрали в качестве такого основания число 5, то обратите внимание на правую часть неравенства. Осуществив в ней почленное деление числителя на знаменатель, вы обнаружите, что При этом появляются ограничения x > 0, x ? 1. Существенны ли они в процессе решения?

10.36. Перейти к одному основанию и получить под знаками логарифма одинаковое число. (!)

10.37. Неравенство легко приводится к виду

log_{|x + 6|}(x? ? x ? 2) ? 1. (!)

10.38. Если обозначить log_аx = у, то получим простое неравенство относительно у.

10.39. Перейти к общему основанию k.

10.40. Вообще говоря, нужно рассмотреть случаи, когда основание x больше единицы и когда оно находится между нулем и единицей. Однако внимательное изучение данного неравенства позволяет рассмотреть только один из этих случаев.

10.41. Поскольку основание логарифма больше единицы, данное неравенство эквивалентно требованию, чтобы число, стоящее под знаком логарифма, было не меньше единицы.

10.42. Чтобы упростить это неравенство, нужно рассмотреть два случая, в зависимости от того, больше или меньше единицы основание логарифма. Однако правильное использование условия позволяет исключить случай

0 < (x ? 1)? < 1.

10.43. Полезно обратить внимание на то обстоятельство, что первый сомножитель положителен. Следовательно, и второй сомножитель тоже должен быть больше нуля.

10.44. Нужно начать с приведения логарифмов к основаниям 2 и 3.

10.45. Поскольку неизвестно, как расположено выражение, стоящее в основании логарифма, относительно 1, то придется рассмотреть два случая: 0 < x? ? 1 < 1 и x? ? 1 > 1. (!)

10.46. Поскольку мы ищем как решения, при которых основание положительно, так и решения, при которых оно отрицательно, удобно начать с определения тех интервалов изменения x, где основание сохраняет свой знак.

10.47. Если у ? 0 фиксировано, то данное неравенство является обычным квадратным неравенством относительно x. Остается записать условие, при котором это квадратное неравенство имеет решение.

10.48. Прежде чем приступить к «техническому» решению задачи, ответьте на вопрос, следует ли из неравенства 3 < 2, например, теорема синусов?

10.49. Чтобы составить план решения, нужно рассмотреть строгое неравенство:

Корень в левой части этого неравенства существует и положителен при x < а. Поэтому оно равносильно системе

10.50. Разложить оба квадратных трехчлена на множители и общий множитель вынести за скобки.

10.51. Откажитесь от идеи непосредственной проверки данных в условии чисел путем их подстановки в неравенство. Проще это неравенство решить. (!)

10.52. Обратите внимание, что числа v5 + 2 и v5 ? 2 при перемножении дают 1, т. е. эти числа взаимно обратны.

10.53. Обозначив log₂x = у, можно привести неравенство к виду

1 + у? ? |у| (4x ? x? ? 2).

В выражении в скобках нужно выделить полный квадрат.

K главе 11

11.1. С помощью формулы перехода к другому основанию можно выразить искомое число через десятичные логарифмы.

11.2. Число 1225 нужно разложить на простые множители. (!)

11.3. Перенести степени с основанием 2 в правую часть уравнения, а с основанием 3 в левую. После преобразований уравнения его правая часть может быть записана как 2 в некоторой степени, а левая — как степень числа 3.

11.4. Обозначить 3^{?|x ? 2|} = у и исследовать квадратное уравнение.

11.5. Обозначить 12^|x| = у. При исследовании учесть, что не только дискриминант не должен быть отрицательным, но и найденные значения у не могут стать меньше 1. (!)

11.6. Уравнение можно переписать в виде

Прежде чем прологарифмировать, удобно получить в правой части единицу. (!)

11.7. Использовать тот факт, что числа 2 + v3 и 2 ? vЗ взаимно обратные

11.8. Уравнение примет более симметричный вид, если разделить обе его части на 2^x.

11.9. Отдельно рассмотреть случаи, когда основание равно 0, 1, ?1. (!)

11.10. Привести к одинаковому числу под знаком логарифма.

11.11. С помощью формулы log_ab = log_a^k b^k можно добиться того, что в уравнение будут входить только log_x7 и log₇x.

11.12. Если уравнение прологарифмировать по основанию 3, то мы получим уравнение третьей степени относительно log₃x. (!)

11.13. Уравнение легко преобразовать в иррациональное с помощью замены у = log_x 3. (!)