Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

окружности радиуса EF с центром в точке F. Остается установить обратное предположение и вспомнить о том, что отрезок не должен находиться вне куба.

K главе 6

6.1. Воспользоваться тем, что p ? 1, p, p + 1 — три последовательных числа, причем p — простое, большее трех.

6.3. Если n = 2k + 1, то аⁿ + bⁿ = (а + b) (а^{n ? 1} ? ... + b^{n ? 1}).

6.4. Среди этих же чисел будет ¹²⁵/₂ = 62[16], делящихся на 8 = 2? и т. д.

6.5. Так как сумма цифр числа делится на 81, то естественно предположить, что оно делится на 81. Однако такой признак делимости не был доказан в курсе арифметики, и поэтому придется дважды воспользоваться признаком делимости на 9. Для этого удобно разбить цифры числа на 9 групп, каждая из которых делится на 9.

6.6. Если многочлен n⁴ + 4 разложен на множители второй степени, то он может быть простым числом только в том случае, если один из множителей равен единице.

6.7. Чтобы убедиться, что числитель всегда делится на число, стоящее в знаменателе, его придется разложить на множители.

6.8. Способ 1. Предположим, что данная дробь сократима. Тогда 5x + 7 = qr, 2x + 3 = pr. Рассматривая эти равенства как систему уравнений относительно x, исключим x.

Способ 2. Рассмотреть вместо данной дроби обратную и выделить целую часть.

6.10. Пример дальнейших рассуждений: при умножении цифры с на 3 мы должны получить число, оканчивающееся на 1. Это возможно лишь при с = 7.

6.11. Так как p — число нечетное, то мы имеем три последовательно нечетных числа. Докажите, что одно из них обязательно делится на 3.

6.12. Если tg 5° — рациональное число, то cos 10° и cos 30° — тоже рациональные числа.

6.13. Сумма девяток должна быть на 10, или на 21, или на 32, или на 43, ... меньше числа, которое делится на 11. Чему должны быть равны в сумме остальные цифры?

6.14. Однородные выражения удобно преобразовывать с помощью замены у = kx. Так как x и у — целые числа, то число k — рациональное, т. е. k = ^p/_q . Остается рассмотреть возможные значения сомножителей, произведение которых равно 17. Нужно добиться того, чтобы каждый сомножитель был целым числом.

6.15. Удобно записать уравнение в виде (x ? 2у)(x + 2у) = 5? · 9 · 89 и вспомнить, что мы ищем целочисленные решения.

6.16. Условие 11(4x ? 1) = 69(у ? x) удовлетворяется при целочисленных значениях x и у, только если 4x ? 1 = 69k, у ? x = 11n. Из первого соотношения следует, что k + 1 делится на 4. Отсюда k = 3, 7, 11, ... .

K главе 7

7.1. Вынести за скобки в числителе , а в знаменателе . После этого дробь сократится.

7.2. Трехчлен 1 + x ? x? является общим множителем знаменателей дробей в первой скобке.

7.3. Последнее слагаемое нужно преобразовать отдельно, после чего его можно будет объединить с первыми двумя.

7.4. Поскольку степень каждого члена числителя вдвое больше степени соответствующего члена знаменателя, то дробь целесообразно умножить на выражение, сопряженное знаменателю.

7.6. Преобразовать подкоренные выражения, прибавив и вычтя из них единицу. При извлечении корня использовать условия задачи.

7.7. Можно воспользоваться формулой сложного радикала

7.9. Возвести левую часть, равную 2, в куб, воспользовавшись формулой (x + у)? = x? + у? + 3xу(x + у), где x + у = 2.

7.10. Равенство а + b = ? с возвести в куб, а равенство а + b + с = 0 дважды возвести в квадрат. Полученные таким образом соотношения учесть при преобразовании левой части равенства, которое нужно доказать.

7.11. Итак, можно безболезненно рассмотреть лишь случай x ? 0, у — любое. Его придется разбить на два случая: | у| ? x и |у| > x. В последнем случае .

7.12. Возведенное в куб выражение преобразовать и упростить, воспользовавшись им же.

7.13. Тождественное равенство многочленов означает равенство их коэффициентов:

а? ? с? = 0,   3 (а?b ? с?) = 24, ... .

Из первого равенства следует, что а = с, после чего можно упростить все другие соотношения.