Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

K главе 8

8.2. Перемножить первую скобку с третьей, а вторую с четвертой.

8.5. Полученное тождество справедливо при всех значениях x, в частности при x = i.

8.6. Полезно заметить, что при целых значениях x ? 0 выражение  Это позволяет ограничиться рассмотрением таких целых у, что у? ? 6.

8.7. Так как все коэффициенты уравнения — рациональные числа, то можно предвидеть, что наряду с корнем v3 + 1 должен существовать корень v3 ? 1.

8.8. Теоремы Виета недостаточно, так как уравнение в этом случае может вовсе не иметь действительных корней.

8.11. Приравнять остаток нулю и потребовать, чтобы квадратный трехчлен, получившийся в частном, был положителен, т. е. имел отрицательный дискриминант.

8.12. В полученном тождестве следует выбрать x = 2 и x = 3. Получим два уравнения относительно а и b.

8.13. Записать x⁴ + 1 в виде произведения квадратных трехчленов с неопределенными коэффициентами, раскрыть скобки и воспользоваться условием равенства двух многочленов.

8.14. Многочлен делится на у?, если его свободный член и коэффициенты при у и у? равны нулю.

8.15. Воспользоваться условием тождественного равенства двух многочленов.

K главе 9

9.3. Один способ — дополнить левую часть до полного квадрата, второй — обозначить второе слагаемое через u? и перейти к системе.

9.4. При возведении в куб воспользоваться формулой куба суммы в виде (а + b)? = а? + b? + 3аb(а + b). Выражение а + b заменить правой частью данного уравнения.

9.6. Если ввести новое неизвестное p = u + v, то с помощью уравнения u ? v = 1 можно через p выразить как u, так и v. Это поможет решить второе уравнение системы.

9.7. Из системы, полученной в результате замены, исключить свободные члены. Это приведет к уравнению, левую часть которого легко разложить на множители.

9.8. В качестве вспомогательного неизвестного удобно выбрать

9.9. Найти x и сделать проверку. Обратить внимание на то обстоятельство, что разность, стоящая в левой части данного уравнения, всегда положительна.

9.10. Второй путь удобнее, так как не приходится решать неравенство с параметром ?, что значительно упрощает исследование.

9.14. Первое уравнение задает квадрат с центром в начале координат и с диагоналями, равными по длине 2, расположенными на координатных осях.

9.15. Ввести новые неизвестные: x + ¹/_x = u, у + ¹/_y = v.

9.16. В первое и второе уравнения входит разность у ? z. Ее-то и следует исключить из этих уравнений.

9.17. Сумму x⁴ + у⁴ в третьем уравнении удобно выразить через x? + у? и xу. В результате придем к уравнению относительно z.

9.18. Уравнение x + у = 1 ? z позволит также упростить выражение, оказавшееся в скобках после того, как в третьем уравнении был вынесен за скобку множитель 1 ? z.

9.19. Поскольку а, b и с — корни многочлена M(t), его можно записать в виде M(t) = (t ? а)(t ? b)(t ? с). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях t в двух выражениях для M(t), найдем u, v и w (см. указание I, с. 138). Постарайтесь закончить решение, не прибегая к излишним выкладкам.

9.20. Умножить первое уравнение на xу?z?, а второе на x?уz?. Будет ли нарушена при этом равносильность?

9.22. Умножить первое уравнение на z и вычесть из второго. Аналогично поступить со вторым и третьим уравнениями.

9.23. Возвести первое уравнение в квадрат и вычесть его из второго. Из полученного уравнения исключить z, воспользовавшись сначала третьим, а затем первым уравнениями. (!!)

Чтобы осуществить эту операцию, первое уравнение нужно предварительно умножить на у.

9.24. Почленно сложить каждые два уравнения: первое и второе, первое и третье, второе и третье. Из найденной системы получить уравнение относительно u = xyz. (!!)

Чтобы получить уравнение относительно u = xyz, достаточно перемножить полученные уравнения.

9.25. Каждое уравнение — квадратное относительно соответствующего x_k. Решив все эти квадратные уравнения и сложив их решения, мы получим уравнение относительно s. Гарантировать равносильность при этом нельзя, но в условии задачи требуется найти только одно решение.

9.26. Если обозначить 7x ? 11у = u, то отсюда можно выразить z через u и у. Таким образом, мы получим снова систему двух уравнений с двумя неизвестными. Из этой системы легко исключить у.

9.27. Из такой системы можно исключить у, одновременно избавляясь от иррациональностей: нужно возвести оба уравнения в квадрат и вычесть второе из первого.