2а. Если ?? = ??, то ? > ? эквивалентно ? > ?, и ? = ? эквивалентно ? = ?.
3. Если выбор А эквивалентен выбору В, а выбор В – выбору С, то выбор А эквивалентен выбору С.
Теорема: Если ?? = ?? и ?? = ??, то ?? = ??.
4. Если ?? = ??, ?? = ??, то ?? = ??.
5. (?, ?, ?). Е!(?х)(?х = ??).
6. (?, ?). Е!(?х)(?х = х?).
7. Аксиома непрерывности.
8. Аксиома Архимеда.
Эти аксиомы позволяют поставить ценности в однозначное соответствие с действительными числами, так что если ?1 соответствует ? и т. д., то
?? = ??. ?.?1 – ?1 = ?1 – ?1.
В дальнейшем мы будем использовать ? также для обозначения соответствующего ему действительного числа ?1.
Определив таким образом способ измерения ценностей, мы можем теперь получить способ измерения веры вообще. Если достоверно, что выбор ? является нейтральным по отношению к выбору ?, если р истинно, и – ?, если р ложно,[700] мы можем определить степень веры субъекта в р как отношение разности между ? и ? к разности между ? и ?, которое, как мы должны предположить, является одинаковым для всех ?, ? и ?, удовлетворяющих указанным выше условиям. Это приблизительно совпадает с определением степени веры в р с помощью шансов, когда субъект ставит на р, учитывая, что пари заключается в терминах ценностных различий, определенных выше. Это определение применяется только к неполной вере и не охватывает достоверной веры; для веры степени 1 в р, ? достоверно является нейтральным в отношении ?, если р, и любого ?, если не-p.
Мы способны также дать определение очень полезной новой идеи – «степени веры в р при условии q». Она не означает степень веры в суждение: «если р, то q» или в суждение: «из р следует q» или же степень веры в р, которую имел бы субъект или должен был бы иметь, если бы знал q. Она приблизительно выражает шансы, при которых он поставил бы на р при условии, что пари имело бы силу, только если q истинно. Такие условные пари часто заключались в XVIII в.
Степень веры в р при условии q, измеряется следующим образом. Допустим, что субъект индифферентно относится к выбору между:
1) ?, если q истинно, и ?, если q ложно,
и 2) ?, если р истинно и q истинно, и ?, если р ложно и q истинно,
и ?, если q ложно. Тогда степень его веры в р есть отношение разности между ? и ? к разности между ? и ?, которое, как мы должны предположить, является одинаковым для любых ?, ?, ?, ?, удовлетворяющих данным условиям. Это не то же самое, что степень, с которой он верил бы в р, если бы считал q достоверным; ибо знание q могло бы по психологическим причинам серьезно изменить всю систему его мнений и убеждений.
Каждое из наших определений сопровождалось аксиомой совместимости, и как только она нарушается, понятие соответствующей степени веры становится неправомерным. Здесь имеется некоторое сходство с понятием одновременности, о котором говорилось выше.
Я не разработал подробную математическую логику, поскольку, думаю, это было бы подобно вычислению результата с точностью до седьмого знака десятичной дроби, тогда как значим только результат с точностью до двух знаков. От моей логики нельзя ждать большего, чем то, как она может работать.
На основе этих определений и аксиом можно доказать основные законы вероятности для веры в суждение (степени веры находятся в диапазоне от 0 до 1):
1. Степень веры в р + степень веры в не-p = 1.
2. Степень веры в р при условии q + степень веры в не-p при условии q = 1.
3. Степень веры в (р и q) = степени веры в р ? на степень веры в q при условии р.
4. Степень веры в (p и q) + степень веры в (p и не-q) = степень веры в р.
Первые два прямо следуют из определений. Третье утверждение доказывается следующим образом.
Пусть степень веры в р = х, а в q при условии р = y. Тогда ? достоверно ? ? + (1 – x)t, если р истинно, и ? – xt, если р ложно при любом t.
? + (1 – x)t, если р истинно, ?
? + (1 – x)t + (1 – y) u, если ‘p и q’ истинно, и
? + (1 – x)t – yu, если р истинно, q ложно; при любом u.
Выберем u такое, что ? + (1 – x)t – yu = ? – xt, т. е. пусть u = t/y (y ? 0).
То гд а ? достоверно ?
? + (1 – x)t + (1 – y) t/y, если р и q истинны,
? – xt в противном случае.
Тогда степень веры в ‘ p и
Если y = 0, пусть t = 0.
Тогда ? достоверно ? ?, если р истинно, и ?, если р ложно
? ? + u, если р истинно и q истинно; ?, если р истинно, а q ложно; ?, если р ложно
? ? + u, если рq истинно, ?, если pq ложно.
Тогда степень веры в pq = 0.
Четвертое утверждение следует из второго и третьего:
