важный аспект данного предмета изучения. Вероятность имеет основополагающее значение не только для логики, но также для статистики и физической науки, и мы не можем быть заранее уверены, что ее наиболее полезная интерпретация в логике будет также пригодна и в физике. В сущности, привычное разногласие между статистиками, по большей части принимающим частотную теорию вероятности, и логиками, в большинстве своем отвергающими ее, внушает мысль, что эти две школы в действительности говорят о разных вещах и что логики используют слово «вероятность» в одном смысле, а статистики – в другом. Поэтому выводы, к которым мы придем в отношении значения вероятности в логике, вовсе не предрешают вопроса о ее значении в физике.
1. Частотная теория
2. Теория м-ра Кейнса
3. Степени веры
4. Логика совместимости
5. Логика истины
В надежде избежать некоторых чисто словесных разногласий я намерен начать с признаний в пользу частотной теории. Во-первых, следует признать, что эта теория имеет прочные корни в обыденном языке, в котором «вероятность» часто употребляется практически как синоним доли; например, когда мы говорим, что вероятность выздоровления от оспы равна трем четвертям, думаю, мы просто имеем виду, что такова доля случаев выздоровления от оспы. Во-вторых, если мы начинаем с того, что называют исчислением вероятностей, рассматривая его как раздел чистой математики, а уже затем обращаемся к поиску некоторой интерпретации формул с тем, чтобы показать, что наши аксиомы не противоречат друг другу, а наш предмет не полностью бесполезен, то наиболее простой и наименее спорной является интерпретация исчисления вероятности в терминах частоты. Это верно не только в отношении обычной математической теории вероятности, но и в отношении символического исчисления, разработанного м-ром Кейнсом; ибо если
Помимо этих двух допущений имеется еще третье, более важное, которое я готов на время принять, хотя оно и не выражает моей действительной позиции. Состоит оно в следующем. Допустим, мы начинаем с математического исчисления и задаемся не прежним вопросом, какая его интерпретация наиболее удобна для чистой математической теории, а вопросом, какая интерпретация дает результаты наиболее ценные для науки в целом; тогда, возможно, ответом опять будет интерпретация в терминах частоты, согласно которой вероятность, как она используется в статистических теориях, в частности в статистической механике, где энтропия есть логарифм вероятности, действительно является выраженным в числах отношением двух классов или пределом такого отношения. Сам я так не считаю, но пока я намерен согласиться с частотной теорией в том, что вероятность, как она используется в современной науке, по сути, есть то же самое, что частота.
Если все это признать, то останется фактом, что и обыденный язык, и многие великие мыслители дают нам основания для того, чтобы под рубрикой вероятности обсуждать и то, что представляется совсем иным предметом, а именно логику неполных оснований. Вполне возможно, что, как полагают некоторые сторонники частотной теории, логика неполной веры в конечном счете окажется изучением частот либо потому, что неполную веру можно определить как некоторый вид частоты или сослаться на некоторый вид частоты, либо потому, что она может стать предметом логического рассмотрения только как основанная на полученных опытным путем частотах. Оценить обоснованность этих утверждений мы сможем, однако, только в результате нашего изучения неполной веры, так что я предлагаю пока оставить частотную теорию без внимания и заняться исследованием логики неполной веры. Здесь, я думаю, будет более удобно начать не прямо с разработки своей собственной теории, а с разбора взглядов м-ра Кейнса, которые очень хорошо известны и в основных положениях являются настолько широко признанными, что читатели, вероятно, сочтут обращение к этой теме de novo лишенным оснований, пока эти взгляды не будут опровергнуты.
М-р Кейнс[693] начинает с предположения, что мы делаем вероятные выводы, которым приписываем объективную правильность; что мы переходим от полной веры в одно суждение к неполной вере в другое и утверждаем, что этот переход является объективно правильным, так что если бы кто-либо при сходных обстоятельствах испытывал иную по степени веру, он бы ошибался. М-р Кейнс объясняет это тем, что по его предположению между любыми двумя суждениями, взятыми как посылка и заключение, имеет место одно и только одно отношение определенного вида, называемое вероятностным отношением, и если в любом данном случае это отношение характеризуется степенью ?, мы должны, если мы рациональны, перейти от полной веры в посылку к вере степени ? в заключение.
Прежде чем приступить к критике этого взгляда, мне, возможно, позволят отметить один очевидный и легко устранимый недостаток в его формулировке. Когда утверждается, что степень вероятностного отношения совпадает со степенью веры, которую оно оправдывает, видимо, предполагается, что и вероятностное отношение, с одной стороны, и степень веры, с другой, могут быть естественным образом выражены в числах и что число, выражающее вероятностное отношение или служащее его мерой, совпадает с числом, выражающим соответствующую степень веры. Но если, как считает м-р Кейнс, эти вещи не всегда можно выразить с помощью чисел, то мы не можем дать такого простого истолкования его утверждению о том, что степень одного совпадает со степенью другой, а должны предположить, что он имеет в виду однозначное соответствие между вероятностными отношениями и степенями веры, которые они оправдывают. Ясно, что это соответствие должно сохранять отношения «больше» и «меньше», и поэтому оно делает множество вероятностных отношений и множество степеней веры подобными в смысле м-ра Рассела. На мой взгляд, очень жаль, что м-р Кейнс не видит этого, потому что точность этого соответствия послужила бы достойным поводом для изрядного скептицизма, как и числовое измерение вероятностных отношений. Фактически многие из его доводов против числового измерения этих отношений, как представляется, сохраняют свою силу также и против установления точного соответствия их степеням веры; например, он утверждает, что если ставки страхования соответствуют субъективным, т. е. действительным степеням веры, то они не определены рациональным образом, и поэтому нельзя заключить, что вероятностные отношения могут быть измерены сходным образом. Можно показать, что в этом случае истинным заключением было бы не то, что, как считает м-р Кейнс, нечисловому вероятностному отношению соответствует нечисловая степень рациональной веры, а то, что степени веры, которые всегда являются числовыми, не соответствуют однозначно вероятностным отношениям, которые их оправдывают. Ибо, я полагаю, вполне допустимо, что степени веры можно было бы измерять с помощью психогальванометра или какого-либо другого подобного прибора, и м-р Кейнс вряд ли бы пожелал заключить отсюда, что все вероятностные отношения можно было бы производным образом измерить с помощью мер, использовавшихся для измерения веры, которую они оправдывают.
Но вернемся теперь к более существенной критике взглядов м-ра Кейнса. Очевидное возражение состоит в том, что, по-видимому, на самом деле не существует ничего такого, что он описывает как вероятностные отношения. Он полагает, что, по крайней мере в некоторых случаях, они могут быть объектом восприятия, но если говорить обо мне, то я совершенно уверен, что это не так. Я не воспринимаю их, и чтобы меня убедить в их существовании, необходимо привести аргументы; более того, я сильно сомневаюсь в том, что и другие люди их воспринимают, потому что они демонстрируют очень мало согласия относительно того, какое из этих отношений связывает любые два суждения. Все что мы, похоже, знаем о них, – это определенные общие положения, законы сложения и умножения; это как если бы каждый знал законы геометрии, но никто не мог бы делать различия между круглым и квадратным объектом. Я с трудом могу представить, как такой большой корпус общих знаний может сочетаться с таким скудным запасом конкретных фактов. Конечно, относительно некоторых отдельных случаев существует согласие, но эти случаи, как это ни парадоксально, всегда очень сложны; мы все согласны, что вероятность выпадения
