– Увы, я это понимаю.
Пятница 14 апреля 1978 года, утро
Ташкент, Политехнический институт
После утренней пробежки голова была свежей, и позавтракал я специально неплотно. Впрочем, таким умным я оказался не один: на удивление многие олимпиадники не забывали о разминках.
Да, сегодня и завтра нам понадобятся все наши интеллектуальные возможности, чтобы быть в состязании в числе первых. Конкуренции, впрочем, не чувствовалось – отношения оставались дружелюбными.
Я выбрал стол у громадного окна, положил перед собой стопочку пока еще девственно чистых листов. Собрался и поднял взгляд на текст первой задачи:
«На белой сфере двенадцать процентов площади поверхности закрашено в черный цвет. Докажите, что существует вписанный в сферу прямоугольный параллелепипед, все вершины которого находятся в белых точках».
– Так-с, – многозначительно прокряхтел мой внутренний голос и повторил с натугой: – Так-с… Чем задача звучит проще, тем она сложней?
Перед глазами возник образ белого шара, безликий и абстрактный. Мысленно толкнул его, и он, ускоряясь, завращался вокруг оси. Я на миг расслабился, наблюдая, и подсознание тут же начало свои игрища: поверхность шара подернулась неровной колеблющейся дымкой, потом поплыла разводами… Строгий объект быстро превращался в светло-туманное облачко, точно молочная капля, упавшая в кофе.
«Кофе, – уцепился я за образ, – черный! Стоять-бояться!»
Шар испуганно замер, деформировавшись в торможении, а затем торжественно вернулся в идеальную форму. Я придирчиво проверил – идеал как он есть, но уже далеко не безликий: в поверхность его теперь были впаяны антрацитово-черные пятна, словно кто-то погонял им в футбол на угольном складе.
«Мяч», – мысленно потискал я его, оценивая упругость, а затем, повинуясь интуиции, решительно рассек на две половины и вложил получившиеся полусферы друг в друга.
«И?.. – с недоумением посмотрел я на результат своих манипуляций. Внимание мое на миг уплыло, и полусферы начали опалесцировать. Память выстрелила цепочкой ассоциаций: – Эффект Тиндаля, рассеянье Рэлея, и вот почему мы видим небо голубым…»
Чернота пятен начала решительно просвечивать сквозь белизну, разводнившуюся, словно молоко у недобросовестного продавца.
«Оп! – довольно хлопнул я себя по лбу и схватился за ручку, торопливо фиксируя первое решение: – Спроецируем полусферу на другую параллельной проекцией таким образом, чтобы цвет точки проекции был черным, и в случае, если он изначально был черным, и в случае, если на него спроецировалась точка черного цвета. Теперь в черный цвет окрашено от двенадцати до двадцати четырех процентов поверхности полусферы».
Еще раз мысленно рубанул полусферы, уже на четвертинки, и спроецировал на тех же условиях.
«От двенадцати до сорока восьми процентов…»
И еще раз.
«От двенадцати до девяносто шести процентов. Ха! Есть! Есть, остались белые точки. А следовательно, есть белые точки, которые при параллельном проецировании попадают друг на друга. Значит, есть и прямоугольный параллелепипед, образующийся при соединении этих точек в соответствии с проецированием».
Я оглянулся с победным видом. Девица из автобуса покосилась на меня с завистью, но большинство все так же смотрели куда-то вдаль остекленевшими глазами, и лишь Книжник, склонив голову к плечу, старательно рисовал какую-то схему. Я отвернулся, чтобы не подглядеть ненароком. Хотя и так понятно: вводит систему координат, и «подробности письмом».
«А и верно, – поморгал я, – можно ведь через параметризацию сферы прямоугольными параллелепипедами… Индексируем вершины согласно знакам октантов, а дальше от противного: предположим, каждый параллелепипед имеет вершину в черной области. Делим множество параллелепипедов на восемь частей согласно индексу верхней-правой-передней из вершин, попадающей в черную область. Это непересекающиеся множества. Сумма их площадей получается меньше площади сферы. Противоречие, однако…
А кстати, тут можно и похулиганить: порассуждать про измеряемость площади по Лебегу, парадокс Банаха – Тарского. А отсюда и до скандалов с аксиомой выбора рукой подать. Интересно, как Колмогоров оценивает всю эту борьбу с проблемами в самом основании математики? У нас ведь сейчас не одна, а сразу несколько математик, ни одна из которых не является внутренне непротиворечивой… Не существует решенных математических проблем, существуют только проблемы более или менее решенные. Даже, строго говоря, непонятно, что можно считать математическим доказательством. А в итоге все сводится к тому же: открываем мы математические факты или же изобретаем, и тогда математика, по сути, становится наукой экспериментальной…»
Я погонял еще немного эти мысли, а потом отмел их прочь: и в двадцать первом веке эта щель, зияющая в основании нашего миропонимания, не заросла, а лишь расширилась. Как бы в один прекрасный момент туда не ухнуло все наработанное нами за предыдущие столетия. И останемся мы на развалинах, и придется с чистого листа создавать новую науку…
Тряхнул головой и взялся за вторую задачу. Итак:
«Сколько существует положений стрелок часов, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая, а какая – минутная? (Положения стрелок можно определить точно, но следить за движением стрелок нельзя.)»
Я представил циферблат. Раз, и стрелки на нем ожили, начав отсчет линейного времени, строго и непреклонно. Время начало утекать. Исчезая в ничто? Овеществляясь? Оседая в памяти?
Мысль моя скаканула от времени линейного ко времени субъективному, и циферблат потек, размякая, как на картине Дали.
Время, как же мне тебя не хватает…
Тот же день, позже
Ташкент, проспект Беруни
В скверике напротив Октябрьского рынка было людно, но не суетно – ташкентцы, даже молодежь, все делали неторопливо. Провинция – милая, простодушная, невинная…
Вокруг бурно цвели молодые каштаны и доходила последняя сирень. Ветви тополей курчавились пухом. В воздухе витал, дотягиваясь из торговых рядов, нежно-сладкий аромат первой клубники.
Я принюхался, а потом зарубил себе на память: «Купить в Ленинград, и побольше – всем моим. – И начал загибать пальцы, считая: – Домой килограмма два, Афанасьевым, девчонкам на Фрунзе… Яське, Кузе, Паштету… – Тут мысль моя споткнулась: – Стоять! – Я озадаченно поморгал. – Как Кузе?! Когда это, дорогуша, она успела стать твоей? Я что-то такое интересное пропустил?»
Мои губы изогнуло ехидством.
«Ладно-ладно, – быстро отыграл я назад. – Не моя. Но угостить придется».
Я опять прошелся взад-вперед по выбранному для встречи пятачку и посмотрел на часы: Жозефина Ивановна опаздывала на
