— А може якось без лірики повернемося до більш конкретних питань абстракції, якщо вже без цього не обійтися. Чому, скажімо, ми так непомітно перейшли на мову теорії категорій (яка, слід зізнатися, досить наочна) від мови алгебраїчних систем. — Ну я думаю, що це досить сильно сказано, оскільки ми просто використали деякі поняття цієї цікавої теорії, саме тому, що Ви вже зазначили. І перспективність цієї мова, як на мене, буде з часом тільки зростати, у тому числі в навчанні, і це підтверджується, зокрема тим, що основні поняття цієї теорії, правда, часом під іншими назвами, давно і широко використовуються в усіх жанрах моделювання і навчання. Володя: — Я не до кінця зрозумів ще, починаючи з другої частини книги, вирази на зразок «діаграма типу Г над схемою Д». Якщо говорити про Г, то це теж схема (скажімо, білінійна). Звісно, я розумію, що мова йде про якийсь морфізм однієї схеми в іншу, але чи завжди Г більш, так би мовити, абстрактна, ніж Д? — Це цікаве і зовсім не просте питання. Для початку зважимо, що, зокрема, і Г і Д можуть бути категоріями, і тоді морфізм, про який говорив Володя, буде, зокрема, і функтором. Нагадаю, що категорія відрізняється від схеми наявністю поняття ендоморфізму і правил, що, по суті, визначають факторизацію морфізмів категорії. Читач (економіст): — Абракадабра якась. Якщо я в Міжнародній економіці, наприклад, кажу, що між країнами існують різні форми міжнародних економічних відносин, то мені ясно, що можна графічно зобразити країни (об’єкти) точками чи там колами і стрілочками (хай морфізмами) ці форми. Я навіть готовий зрозуміти, що у країни можуть бути відносини, так би мовити, із самою собою (хай ендоморфізм), але при чому тут якась факторизація відносин, коли у якоїсь країни з однією країною вони можуть бути одні, з другою — інші..? Саме при тому, бо, якщо дослідити ці відносини «якоїсь країни» з «однією», потім останньої ще з «другою», а потім порівняти відносини «якоїсь» з «другою», то, може, вдасться визначити якісь спільні закономірності, що дозволять, скажімо, знайти зв’язок між відповідними рівнями експорту і імпорту цих країн (тобто факторизувати відносини в більш агреговані показники) і створити модель, яка допоможе поліпшити торговельний баланс чи зменшити, скажімо, платіжний дефіцит, що, між іншим, і роблять всі економісти в рамках різних, часто погано визначених і тому слабо пов’язаних моделей. А щоб було інакше, і треба зрозуміти, що роблять власне всі від комуністів до монетаристів — факторизують морфізми між поняттями в рамках власних категорій і правил факторизації. А це треба було б робити вже потім після розробки й узгоджен- ня більш загальних і первісних схем, після чого тільки й мож- на обговорювати конкретні правила спільною мовою, скажімо АСА-діаграми, яку, зокрема, можна розуміти і як відношення між відношеннями. Це поки що я відволікся на відповідь про різницю між категорією і схемою. А тепер повернімось до запитання Володі. Якщо і Г і Д — категорії, то функтор можна визначити із Г в Д чи навпаки. При цьому, якщо, наприклад, категорія Г — аргумент функтора, то Г, як відзначається, наприклад, у [37; 197], «…називається також схемою, а функтор із Г в Д-діаграмою в Д зі схемою Г» (я змінив позначення в цій та деяких інших цитатах, що несуттєво). У другій із цитованих книг діаграма визначається і як деяка підмножина об’єктів і морфізмів в окремій категорії. У [125] «Діаграма в категорії Д — відображення орієнтованого графа Г в категорію Д…» (з відповідними очевидними властивостями), що близько до визначення в [197]. Доречно навести ще кілька цитат із відповідної статті в [125]: «Клас діаграм з одним і тим же графом Г утворює категорію… Будь-яку категорію можна подати як категорію діаграм із деяким графом. Інколи граф Г називають схемою діаграм у (категорії) Д». У [52] визначення дається в більш загальній формі, яке, на мою думку, є найбільш чітким. Спочатку визначаються діаграмні схеми, які ми просто можемо уявляти як схеми або наочно, як мультиграфи (без ендоморфізмів і факторизації морфізмів), а потім визначається «Діаграми. Нехай Т і U — дві діаграмні схеми. Діаграмою типу Т над схемою U називається довільний морфізм схеми Т в схему U… Діаграмами над категорією Г називаються діаграми над діаграмною схемою категорії Г. Будь-який функтор Ф: К -> Г можна розглядати як діаграму над К». Читач (економіст): — Мені здається, що нам слід все ж зайнятись більш серйозними проблемами, ніж витрачати час на цитування одного і того ж визначення в різних словесних оболонках, до того ж абсолютно очевидного. — Добре, дозвольте запитання, чи згодні всі з одним із основних положень Програми діяльності Кабінету Міністрів України: «Головним завданням сучасного етапу є створення належної бази для набуття Україною повноправного членства в Європейському союзі та формуванні в суспільстві стійкої проєвропейської більшості». — А це ще до чого? Звісно, згодні не всі, бо Кабмін виходив із власних уявлень про основні напрямки розвитку, але у принципі вихідні уявлення можуть бути суттєво різними. Ну, я розумію, Ви хочете, щоб я це сказав іншою мовою. Можу. Кабмін має якусь вихідну загальну модель, хай схему (категорію) розвитку — Г. Існують такі об’єкти, як Європейський союз і Україна, між якими можуть бути різні відносини (нехай «морфізми»). Якщо назвати ці два об’єкти з морфізмами категорією Д, то можна говорити про діаграму в Д зі схемою Г (це я процитував вищенаведене визначення), або про якійсь функтор Ф із Г в Д. Ну то й що? Це те саме, що я сказав на початку, тільки довше і заплутаніше. — Поміркуємо далі. Що ж треба робити, якщо існують різні точки зору? — Ну якось їх узгоджувати… — Як? — Для початку проаналізувати вихідну схему Уряду. — Схему чи категорію? — Яка різниця? А так, у схемі не визначаються відношення об’єкта із самим собою (ендоморфізм) і відношення між окремими відношеннями (морфізмами) вихідних об’єктів. — А це означає, що або ми будемо розглядати вихідну модель Уряду як категорію, і тоді функтор Ф може «перенести» на категорію Д ті співвідношення, які вже «заклав» Уряд, або ж ми можемо проаналізувати більш абстрактну вихідну схему «основних напрямків розвитку», що свідомо чи підсвідомо була покладена в основу вихідної моделі. А це, погодьтесь, зовсім різні речі, бо в першому випадку ми маємо загальновідому можливість нескінченних узгоджень можливих результатів комбінацій морфізмів у вихідній моделі, а в другому — результат морфізму вибраної схеми у «кінцеву» категорію (а може ще й схему?) «основних зав¬дань». Втім я не хочу сказати, що саме так треба трактувати послідовність аналізу саме цієї проблеми з подальшим синтезом і адаптацією відповідної програми дій. Мені важливо було тільки наголосити на можливості більш коректної постановки послідовності її вирішення. Володя: — Я не зовсім зрозумів дві речі: по-перше, чи завжди треба обов’язково розглядати формально «діаграми типу Г» як схему? І по-друге, чи це завжди неформально краще для ефективного моделювання? — Мені здається, що на обидва питання слід відповісти — «ні». При інтерпретації Г як схеми ми, по суті, як первісний об’єкт вибираємо під час синтезу моделей більш абстрактний об’єкт, тобто мова йде про дедуктивний шлях реалізації ПІБ, але це, звісно, не обов’язково і не завжди ефективно. Взагалі-то і Г і Д можуть бути довільними схемами чи категоріями. — Але ж чому саме для Уряду рекомендується цей «схематичний» шлях? — Тому що категорія його передумов настільки, як на мене, «збагачена» домислами і невідповідностями з реальністю, що кра¬ще для початку чітко визначити загальну схему розвитку і подивитись, до чого вона може привести під час реалізації «основних завдань…». Адже
Вы читаете Інформатика інвестування
